Suites particulières

Une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$ est une suite définie par $\forall n\in {\Bbb N}$: $u_{n+1}=u_n+r$.

Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors pour tout $n\in {\Bbb N}$: $u_n=u_0+nr$.

Pour $n\in {\Bbb N}$, en posant $\mathrm S_n=u_0+…+u_n$, on a : $\mathrm S_n=(n+1)\times\displaystyle\frac{u_0+u_n}{2}$.

Exemple :

$\mathrm S_n=1+2+\ldots+n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite de terme général : $u_{n+1}=u_n+1$ qui est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme $u_0=0$ donc $u_n=0+n\times 1=n$.

Par conséquent $\mathrm S_n=(n+1)\times\displaystyle\frac{u_0+u_n}{2}$ $=(n+1)\times\displaystyle\frac{0+n}{2}$ $=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$.

D’où : $\displaystyle\sum_{k=0}^n k=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$.

Une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q$ est une suite définie par $\forall n\in {\Bbb N}$: $u_{n+1}=qu_n$

Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $r$, alors pour tout $n\in {\Bbb N}$: $u_n=q^nu_0$.

Pour $n\in {\Bbb N}$ et $q\neq 1$, en posant $\mathrm S_n=u_0+\ldots+u_n$, on a : $\mathrm S_n=\displaystyle\frac{u_0-u_{n+1}}{1-q}$

Exemple :

$\mathrm S_n=1+q+…+q^n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite de terme général : $u_{n+1}=qu_n$ qui est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0=1$ donc $u_n=q^n$.

Par conséquent $\mathrm S_n=\displaystyle\frac{u_0-u_{n+1}}{1-q}=\displaystyle\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

D’où : $\displaystyle\sum_{k=0}^n q^k=\displaystyle\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Convergence de la suite géométrique $(q^n)$ avec $q$ réel :

• Si $q >1$ alors $(q^n)$ $\rm DV$ vers $+\infty$.
• Si $q = 1$ alors $(q^n)$ est la suite constante en $1$ donc $\rm CV$ vers $1$.
• Si $-1 < q < 1$ alors $(q^n)$ CV vers $0$.
• Si $q \le -1$ alors $(q^n)$ $\rm DV$ sans tendre vers $- \infty$ ou $+\infty$.

Soient $a,b \in {\Bbb R}$. Une suite arithmético-géométrique ou linéaire du premier ordre est une suite définie par $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n+1}=au_n+b$.

On cherche à déterminer $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.

Méthode pour déterminer $u_n$ en fonction de $n$.

• Si $a=1$ alors $(u_n)$ est une suite arithmétique donc on a $u_n = u_0 + n b$.
• On suppose dans la suite que $a \neq 1$. On définit une autre suite $v_n = u_n - c$ avec $c$ solution de l'équation $ax+b = x$ c'est-à-dire $\displaystyle{c=\frac{b}{1-a}}$. La théorie nous dit alors que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$. Donc $v_n = a^nv_0$. Comme $u_n=v_n+c$, on a $u_n = a^n v_0+c = a^n (u_0 - c) +c$.