Systèmes linéaires, continus et invariants (SLCI)

On considère un système dont la fonction de transfert en boucle fermée s'écrit sous sa forme canonique :

$\rm H(p)=\dfrac{K}{1+\tau p}$

On rappelle que $\rm K$ est le gain statique de la fonction de transfert et $\tau$ la constante de temps du système. On cherche à déterminer graphiquement ces paramètres dans le cas où l'allure de la sortie est donnée dans le domaine temporel.

On suppose que l'entrée $e(t)$ du système est un échelon tel que pour $\rm \forall t>0$, $\rm e(t)=E_{0}$, la transformée de Laplace de l'entrée vaut donc $\rm E(p)=\dfrac{E_{0}}{p}$.

Connaissant la fonction de transfert et l'entrée du système, on peut déduire la transformée de Laplace de la sortie :

$\rm S(p)=E(p)H(p)=\dfrac{E_{0}K}{p(1+\tau p)}$

Une décomposition en éléments simples ainsi que les transformées inverses de Laplace donnent l'expression de la sortie dans le domaine temporel:

$\rm s(t)=E_{0}K\left(1-e^{-t / \tau}\right)$

Si le tracé temporel de la sortie est donné et si on connait son expression analytique, on peut trouver les paramètres inconnus $K$ et $\tau$:

1) Pour $\rm t \rightarrow +\infty$ on a $\rm s(t) \rightarrow E_{0}K$, il suffit sur le graphe de lire la valeur finale pour déduire $\rm K$.

2) A $\rm t=\tau$ on a $\rm s(\tau)=63\% \times E_{0}K$, autrement dit pour $\rm t=\tau$ on est à $63\%$ de la valeur finale, il suffit donc de calculer $\rm 63\% \times E_{0}K$ et de se placer au temps $\rm t$ correspondant.

Soit un système décrit par le schéma-bloc ci-dessous, on notera $\rm p$ la variable de Laplace. On ne traitera pas le cas d'un système subissant une perturbation extérieure.

On souhaite calculer la fonction de transfert de ce système: $\rm H(p)=\dfrac{S(p)}{E(p)}$. Pour cela on cherche à condenser le plus possible le schéma-bloc, autrement dit :

1) On met dans un même bloc les blocs voisins.

2) On cherche à appliquer la formule de Black qui sert à calculer la fonction de transfert d'un système avec comparateur.

Si besoin on peut décaler les blocs pour se ramener à un des 2 points cités ci-dessus. Pour le schéma-bloc étudié :

Étape 1 : On peut multiplier entre eux les 2 blocs $\rm H1(p)$ et $\rm H2(p)$ ce qui donne :



Étape 2 : On voudrait utiliser la formule de Black sur la boucle constituée des blocs $\rm H3(p)$, $\rm H4(p)$ et $\rm H6(p)$ mais il faut d'abord décaler l'intersection qui lie les blocs $\rm H3(p)$, $\rm H4(p)$ et $\rm H5(p)$, donc :


Étape 3 :On peut appliquer la formule de Black sur les blocs $\rm H3(p)$, $\rm H4(p)$ et $\rm H6(p)$ et regrouper les blocs $\rm H5(p)$ et $\rm \dfrac{1}{H4(p)}$:

Étape 4 : On peut appliquer une deuxième fois la formule de Black, la fonction de transfert apparaît et vaut alors $\rm H(p)=\frac{H1(p)H2(p)H3(p)H4(p)}{1+H3(p)H4(p)H6(p)+H1(p)H2(p)H3(p)H5(p)}$

Le dispositif de régulation d’altitude en pilotage automatique d’un avion de ligne (Airbus A 380) est modélisé par l’équation différentielle suivante :

$\displaystyle m \cdot \frac{d^2y}{dt^2} + f \cdot \frac{dy}{dt} + \mathrm{K_{eq}} \cdot y(t) = \mathrm{K_{eq}} \cdot x(t)$

$y(t)$ est l’altitude de l’avion (sortie) en $m$, $x(t)$ l’altitude souhaitée en vol de croisière (consigne) en $m$, $\mathrm m$ la masse de l’avion en $\rm kg$, $f$ le coefficient de frottement aérodynamique en kg/s, et $\rm \displaystyle K_{eq}$ une constante en $\rm \displaystyle kg/s^{2}$.

1. Utiliser la transformation de Laplace pour établir la fonction de transfert du système :

   $\displaystyle (m . p^2 + f . p + \mathrm{K_{eq}}) \cdot \mathrm Y(p) = \mathrm{K_{eq}} \cdot \mathrm X(p)$

   $\displaystyle \mathrm H(p) = \frac{\mathrm Y(p)}{\mathrm X(p)} = \frac{\mathrm{K_{eq}}}{m \cdot p^2 + f \cdot p + \rm K_{eq}}$

2. Mettre la fonction de transfert sous forme canonique :

   Cette étape revient en pratique à « faire disparaître » le facteur du terme en $p^0$ du dénominateur.

   $\displaystyle \mathrm H(p) = \frac{\mathrm Y(p)}{\mathrm X(p)} = \frac{1}{\frac{m}{\mathrm{K_{eq}}}\cdot p^2 + \frac{f}{\mathrm{K_{eq}}}. p + 1}$

3. Réaliser l’identification des paramètres :

   $\displaystyle \mathrm H(p) = \frac{\mathrm K}{\frac{p^2}{\omega_{0}^2} + \frac{2 \cdot z \cdot p}{\omega_{0}} + 1}$

Ainsi :

• $\displaystyle \frac{1}{\omega_{0}^2} = \frac{m}{\mathrm{K_{eq}}} \Rightarrow \omega_{0} = \sqrt{\frac{\mathrm{K_{eq}}}{m}}$ $\rm (rad.s^{-1})$,
• $\displaystyle \frac{2 \cdot z}{\omega_{0}} = \frac{f}{\mathrm{K_{eq}}} \Leftrightarrow z = \frac{f}{2 \cdot \sqrt{\mathrm{K_{eq}}\cdot m}}$ (Sans unité),
• $\rm K = 1$ (Sans unité).

Note : le gain statique peut être différent de $1$, et posséder une unité/dimension si l’entrée et la sortie n’ont pas la même unité/dimension.