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Systèmes numériques

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Bases de la logique combinatoire

La logique combinatoire est le domaine des systèmes numériques manipulant uniquement des variables logiques (deux états : 1 - VRAI et 0 - FAUX) et dont l’état des sorties ne dépend que de l’état des entrées à l’instant considéré.

Une fonction logique est l’expression d’une variable de sortie logique en fonction d’une ou plusieurs variable(s) d’entrée logique(s). La table de vérité d’une fonction logique recense les différentes combinaisons des valeurs des entrées et indique pour chacune d’elles la valeur de la sortie. Le tableau ci-dessous représente les principales fonctions logiques de base :

Les fonctions logiques plus complexes (ainsi que, grâce aux portes associées, les circuits électroniques logiques appelés logigrammes) seront construites par association de ces fonctions.

L’algèbre de Boole constitue l’ensemble de règles régissant le fonctionnement des systèmes logiques, en premier lieu desquels les systèmes combinatoires.

ET logique OU logique
Élément neutre $\rm a . 1 = a$ $\rm a + 0 = a$
Élément absorbant $\rm a . 0 = 0$ $\rm a + 1 = 1$
Idempotence $\rm a . a = a$ $\rm a + a = a$
Complémentation $\rm a . \overline{a} = 0$ $\rm a + \overline{a} = 1$
Commutativité $\rm a . b = b . a$ $\rm a + b = b + a$
Associativité $\rm a . (b . c) = (a . b) . c$ $\rm a + (b + c) = (a + b) + c$
Distributivité $\rm a . (b + c) = a . b + a . c$
$\rm a + b . c = (a + b) . (a + c)$
Autres $\rm \overline{\overline {a}} = a$
$\rm a + a . b = a$
$\rm a + \overline{a} . b = a + b$

Conception d’un circuit logique combinatoire :

  1. Lecture de la table de vérité issue des spécifications exprimées dans le cahier des charges.
  2. Extraction des expressions (équations logiques) des sorties depuis la table.
  3. Simplification des expressions des sorties (Algèbre de Boole ou tableaux de Karnaugh).
  4. Mise en place du logigramme à l’aide des portes logiques traduisant les fonctions logiques présentes dans les expressions des sorties.

Interpréter le fonctionnement temporel d’un système séquentiel

Un système à événements discrets de type séquentiel se voit généralement associer un ou plusieurs diagramme(s) d’états permettant de décrire son comportement lors des différentes phases de son fonctionnement.

La situation étudiée consiste en un enchaînement d’événements pouvant être modélisé au moyen de variables parmi lesquelles de nombreuses variables logiques. Un chronogramme permet de décrire l’évolution temporelle des variables, et par conséquent le comportement du système, lors d’une phase (ou d’un ensemble de phases) de fonctionnement donné.

Afin de renseigner les valeurs des variables de sortie sur chaque intervalle du chronogramme, la simple lecture des valeurs des variables d’entrée sur cet intervalle n’est pas suffisante (à la différence des systèmes logiques combinatoires) : il est nécessaire de prendre en compte les différents états pris, ainsi que les différentes transitions empruntées au moyen d’une analyse du diagramme d’états.

La notion d’historique présente dans certains diagrammes d’états SysML (Machines à états) permet de modéliser la gestion des interruptions dans les systèmes.

Dans le diagramme d’états du pilote de voilier, l’historique superficiel (« Shallow history », symbole H) indique qu’une fois l’arrêt d’urgence désactivé, le système retrouvera le sous-état contenu à l’intérieur de l’état composite « Fonctionnement normal » dans lequel il se trouvait avant activation de l’arrêt d’urgence, c’est-à-dire soit « mode automatique », soit « mode manu ». Dans ce dernier cas, le système reviendra à l’état initial de « mode manu » qui le mènera à l’état « repos », même s’il se trouvait dans « Virage à tribord » ou « Virage à bâbord » lors de son interruption.

Pour permettre au système de retourner immédiatement dans l’un des deux états de type « Virage » à la désactivation de l’arrêt d’urgence, il faudrait remplacer l’historique superficiel par un historique profond (« Deep history », symbole H*) qui assure le retour au sous-état précédant l’interruption sur plusieurs niveaux, selon le principe des « poupées russes ».

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