Dans quel cas y a-t-il dispersion et/ou absorption ?
Si l’on ne néglige pas les phénomènes dissipatifs (frottements, interactions avec le milieu, etc.), une onde perd de l’énergie au cours de sa propagation. Les phénomènes de dispersion / absorption vont alors apparaitre.
Comment dresser l’équation de propagation et la résoudre ?
Lorsque l’on tient des phénomènes dissipatifs, l’équation de propagation n’est pas l’équation d’Alembert : il faudra s’adapter à l’exercice donné. Souvent, on aboutira à une équation comprenant les deux termes présents dans l’équation d’Alembert auxquels s’ajoute au moins un terme dit « dissipatif », en dérivée d’ordre impair par rapport au temps.
Dans le cas d’une propagation unidimensionnelle selon (Ox), on cherchera les solutions de l’équation de propagation sous la forme de pseudo-onde plane progressive harmonique (OPPH*) de la forme :
$s(x,t)=Re \left( \underline{A} \exp \left( j\left(\omega t - \underline k x\right) \right) \right)$
Avec :
$\underline A$ l’amplitude complexe de l’onde
$\omega$ la pulsation
$\underline k$ le nombre d’onde (à priori complexe)
Remarque : Lorsque l’on tient compte des phénomènes dissipatifs, le nombre d’onde $\underline k$ est complexe.
Comment trouver la relation de dispersion ?
La relation de dispersion relie le nombre d’onde $\underline k$ et la pulsation $\omega$. Pour l’obtenir, il faut remplacer la solution sous forme d’OPPH* dans l’équation de propagation.
Quel est le lien entre nombre d’onde et dispersion ?
Si la vitesse de phase $v_ \phi = \frac{\omega}{\lvert Re\left( \underline k\right) \rvert }$ dépend explicitement de $\omega$ alors il y a dispersion. On dit que le milieu est dispersif.
Quel est le lien entre nombre d’onde et absorption ?
Si $Im \left( \underline k \right) > 0 $ (strictement) et que la propagation se fait dans le sens des x croissants, alors il y a atténuation (ou amortissement) de l’onde. On dit, dans ce cas, que le milieu est absorbant (ou dissipatif, ou atténuant).
L’onde est alors amortie exponentiellement au cours de sa propagation avec une distance caractéristique $\delta=\frac{1}{ \lvert Im \left( \underline k \right) \rvert }$.
Remarque : Si $Im \left( \underline k \right) < 0 $ et que la propagation se fait dans le sens des x croissants alors il y a amplification de l’onde. On dit, dans ce cas, que le milieu est amplificateur (cas rare, le laser est un exemple).
