Énergie cinétique

Soit un solide $\rm S$ de masse $\rm m$, de centre d’inertie $\rm G$, en mouvement par rapport à un repère $\mathrm{R(O}, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$.
Soit $\rm M$, un point du solide $\rm S$.

L’énergie cinétique du solide $\rm S$ par rapport au repère $\rm R$ est définie par :

$\rm T_{S / R} = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{M \in S}\left(\overrightarrow{V}_{M \in S / R}\right)^{2} d m$

On pourrait montrer que l’énergie cinétique d’un solide $\rm S$ par rapport à $\rm R$ peut s’exprimer à partir des torseurs cinétique et cinématique :

$\rm T_{S / R}=\dfrac{1}{2}\left\{C_{S / R}\right\} \otimes\left\{V_{S / R}\right\}$

$\rm \left\{V_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm \overrightarrow{\Omega}_{S / R}\\ \rm \overrightarrow{V}_{A \in S / R}\end{array}\right\}_{A}$ : torseur cinématique du solide $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$.

$\rm \left\{C_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R} \\ \rm \overrightarrow {\sigma}_{A(S / R)}\end{array}\right\}_{A}$ : torseur cinétique du solide $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$

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$\rm \left\{V_{S / R}\right\}$ et $\rm \left\{C_{S / R}\right\}$ doivent être exprimés au même point :

$\scriptstyle\rm T_{S / R}~=~\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R} \\ \rm \overrightarrow{\Gamma}_{A(S / R)}\end{array}\right\}_{A} \otimes \left\{\begin{array}{cc}\rm \overrightarrow{\Omega}_{S / R}\\ \rm \overrightarrow{V}_{A \in S / R}\end{array}\right\}_{A}$

$\scriptstyle \rm T_{S / R} ~=~ \dfrac{1}{2}\left(m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R} \cdot \overrightarrow{V}_{A \in S / R} + \overrightarrow{\sigma}_{A(S / R)} \cdot \overrightarrow{\Omega}_{S / R}\right)$

Si $\displaystyle\rm S=\sum_{i} S_{i}$ alors $\displaystyle\rm T_{S / R}=\sum_{i} T_{S_{i} / R}$

Lorsqu’il existe des relations cinématiques entre les solides $\rm S_{i}$, il peut être intéressant d’exprimer l’énergie cinétique du système matériel $\rm S$ en fonction d’une seule variable cinématique.
On fait ainsi apparaître une « inertie équivalente ramenée sur un axe de rotation » ou une « masse équivalente ».