Fonction d’onde et équation de Schrödinger

Qu’est-ce que la fonction d’onde ?

La notion de fonction d’onde est au cœur de la physique quantique. Elle se note généralement, $\Psi(M,t)$ et représente l’état quantique d’un système.

Remarque 1 : En mécanique quantique, la fonction d’onde remplace la notion de trajectoire utilisée en mécanique classique.

Remarque 2 : La fonction d’onde est à valeurs complexes. Seul son module a une signification expérimentale.

Comment calculer la densité de probabilité de présence d’une particule ?

La densité volumique de probabilité de présence d’une particule notée $\rho(M,t)$ est donnée par le carré de la norme de la fonction d’onde :

$\rho(M,t)=\frac{dP}{d \tau}=\lvert \Psi(M,t) \rvert ^2$

Remarque : $\rho$ étant une densité de probabilité, la condition de normalisation peut s’écrire :

$\iiint \rho(M,t) d \tau (M) =1$

Ou encore

$\iiint \lvert \Psi(M,t) \rvert ^2 d \tau =1$

Qu’est-ce que l’équation de Schrödinger ?

En mécanique quantique, les lois de Newton sont remplacées par l’équation de Schrödinger.

Pour une particule élémentaire non relativiste sans spin soumise à un potentiel $V(M,t)$, l’équation de Schrödinger s’écrit :

$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \Delta \Psi +V(M,t) \Psi$

Comment trouver les états stationnaires solutions de l’équation de Schrödinger ?

On se place dans le cadre d’une particule élémentaire non relativiste sans spin soumise à un potentiel $V(x)$ (donc indépendant du temps). On procède alors à la séparation des variables temps et espace en cherchant une solution à l’équation de Schrödinger sous la forme :

$\Psi(M,t) = \varphi(M)e^{-i \omega t}$

On remplace cette forme de solution dans l’équation de Schrödinger et on obtient :

$E \varphi = \frac{- \hbar ^2}{2m} \Delta \varphi +V \varphi$

Ou encore

$E \varphi = H \varphi$

Avec

$m$ la masse de la particule

$\hbar$ la constante de Planck réduite

$H$ l’opérateur hamiltonien

$E=\hbar \omega$ qui est une valeur propre de l’hamiltonien et qui sera l’énergie de l’état étudié

On a également $varphi$ vecteur propre de l’hamiltonien

Remarque : On parle d’état stationnaire car, dans notre cas, le carré de la norme de la fonction d’onde est indépendant du temps :

$\lvert \Psi(M,t) \rvert ^2= \lvert \varphi(M)e^{-i \omega t} \rvert ^2 = \lvert \varphi(M) \rvert ^2$