Fonctions vectorielles

Soient $\rm I,J$ des intervalles de $\mathbb R$ et $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie avec $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Méthode 1 : Etudier la dérivation de fonctions vectorielles

• Dérivabilité de fonctions vectorielles

Définition :

Soit $f :\rm I\to E$.
$f$ est dérivable en $\rm a\in I$ si le taux d’accroissement $\rm \displaystyle\frac{1}{h}(\mathcal f(a+h)-\mathcal f(a))$ converge quand $\rm h\to 0$ (avec $\rm h\neq 0$).
Cette limite est le vecteur dérivé de $f$ en $\rm a$ noté $f’(\rm a)$.

Théorème :

Soit $f :\rm I\to E$.
Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• $f : \rm I\to E$ est dérivable en $\rm a\in I$
• Il existe $\rm l\in E$ tel que $f\rm (t)=\mathcal f(a)+(t-a)\cdot l +(t-a)\epsilon(t)$

Avec $\rm \epsilon(t)\underset{t\to a}\to 0_E$.
C’est le développement limité à l’ordre 1 de $f$ en $\rm a$. $\rm l=\mathcal f’(a)$.

Définition :

Soit $f : \rm I\to E$.
$f$ est dérivable en $\rm a$ si elle l’est en tout point de $\rm I$.

Théorème :

Les fonctions dérivables de $\rm I$ vers $\rm E$ sont continues.

Théorème :

Soit $f :\rm I\to E$ de fonctions coordonnées $f_1,…,f_\rm n$ dans une base de $\rm E$ : $\rm e=(e_1,…,e_n)$. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• $f$ est dérivable.
• $f_1,…,f_\rm n$ sont dérivables.

Dans ce cas, pour tout $\rm t\in I$, $f’\rm (t)=\displaystyle\sum_{j=1}^n \mathcal f’_j(t)\cdot e_j$.

• Opérations sur les fonctions dérivables

Théorème :

Soient $f,g : \rm I\to E$ et $\alpha\in \mathbb K$.
Si $f$ et $g$ sont dérivables alors $\alpha f$ et $f+g$ sont dérivables :
$(\alpha f)’=\alpha f’$ et $(f+g)’=f’+g’$.

Théorème :

Soit $\rm \varphi : J\to I$ et $f : \rm I\to E$.
Si $f$ et $\varphi$ sont dérivables alors $f\circ \varphi$ est dérivable et : $(f\circ \varphi)’=\varphi’\cdot f’\circ \varphi$.

Théorème :

Soient $f : \rm I\to E$ et $\rm L\in\mathcal L(E,F)$ (application linéaire).
Si $f$ est dérivable alors $\rm L(\mathcal f) :t\mapsto L(\mathcal f(t))$ est dérivable : $\rm (L(\mathcal f))’=L(\mathcal f’)$.

Définition :

Soit $f : \rm I\to E$.
On note $f^{(0)}=f$ la dérivée d’ordre $0$ de $f$.
Pour $\rm n\in\mathbb N$, si $f^{(\rm n)}$ existe et est dérivable, on pose $f\rm ^{(n+1)}=(f^{(n)})’$ la dérivée d’ordre $\rm n+1$ de $f$.
Si $f\rm ^{(n)}$ existe, on dit que $f$ est $\rm n$ fois dérivable.

Théorème :

Soient $f,g : \rm I\to E$ et $\alpha\in\mathbb K$.
Si $f$ et $g$ sont $\rm n$ fois dérivables alors $\alpha f$ et $f+g$ sont dérivables et $(\alpha f)\rm ^{(n)}=\alpha \mathcal f^{(n)}$ et $(f+g)\rm ^{(n)}=\mathcal f^{(n)}+\mathcal g^{(n)}$.

Théorème :

Soient $f : \rm I\to E$ et $\rm L\in\mathcal L(E,F)$ (application linéaire).
Si $f$ est $\rm n$ fois dérivable alors $\mathrm L(f)$ est dérivable : $\rm (L(\mathcal f))^{(n)}=L(\mathcal f^{(n)})$.

Définition :

Soit $f : \rm I\to E$.
$f$ est de classe $\rm C^{n}$ si $f$ est $\rm n$ fois dérivable et si $f^{(\rm n)}$ est continue.
$f$ est de classe $\rm C^{\infty}$ si $f$ est de classe $\rm C^{n}$ pour tout $\rm n\in\mathbb N$.

Théorème : Inégalité des accroissements finis

Soit $f :\rm I\to E$ de classe $\rm C^1$.
S’il existe $\rm M\in\mathbb R^+$ tel que pour tout $\rm t\in I$, $\|f’\rm (t)\|\leq M$ alors pour tous $\rm a,b\in I$, $\|f(\mathrm b)-f(\mathrm a)\|\rm \leq M|b-a|$.

Méthode 2 : Etudier l’intégration de fonctions vectorielles

Définition :

Soient $f :\rm I\to E$ et $\rm e=(e_1,…,e_n)$ une base de $\rm E$.
$f$ est continue par morceaux si ses fonctions coordonnées dans la base $\rm e$ sont continues.

Théorème :

L’ensemble $\rm C^0_{pm}(I,E)$ des fonctions continues par morceaux de $\rm I$ dans $\rm E$ est un sous-espace vectoriel de l’espace $\mathcal{F}(\rm I,E)$.

Définition :

Soient $f :\rm I\to E$ et $\rm e=(e_1,…,e_n)$ une base de $\rm E$.
Supposons que $f$ est continue par morceaux de fonctions coordonnées $f_1,…f_\rm n$ dans la base $\rm e$.
Pour tout $\rm a,b\in I$, l’intégrale de $f$ de $\rm a$ à $\rm b$ est le vecteur :
$\rm \displaystyle\int_a^b \mathcal f(t)dt=\int_{[a~ ;~b]}\mathcal f(t)dt=\sum_{j=1}^n\int_a^b \mathcal f_j(t)dt\cdot e_j$

Remarque :

La valeur de l’intégrale est indépendante du choix de $\rm e$.

Théorème :

Soient $f,g : \rm I\to E$ continues par morceaux.
Soient $\alpha,\beta \in\mathbb K$ et $\rm a,b\in I$.
$\rm \displaystyle\int_a^b\alpha \mathcal f+\beta \mathcal g=\alpha \int_a^b \mathcal f+\beta \int_a^b \mathcal g$.

Relation de Chasles:

Soit $f :\rm I\to E$ continue par morceaux.
Pour tous $\rm a,b,c\in I$, $\rm \displaystyle\int_a^b \mathcal f=\int_a^c \mathcal f+\int_c^b \mathcal f$.

Théorème :

Soit $f :\rm [a,b]\to E$ continue par morceaux et $\|\cdot\|$ une norme sur $\rm E$.
$\rm \displaystyle \left\|\int_{[a ~;~b]}\mathcal f\right\|\leq \int_{[a~ ;~b]}\left\|\mathcal f\right\|$.

Théorème : Sommes de Riemann

Si $f :\rm [a~ ;~b]\to E$ est continue par morceaux alors :
$\rm \displaystyle\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\mathcal f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\underset{n\to +\infty}\to \int_a^b\mathcal f(t)dt$.

Définition :

Soit $f : \rm I\to E$.
Une primitive de $f$ est une fonction $\rm F :I\to E$ dérivable qui vérifie $\mathrm F’=f$.

Théorème :

Soit : $f : \rm I\to E$.
Si $f$ admet des primitives, elles diffèrent entre elles d’une constante vectorielle.

Théorème :

Soient $f : \rm I\to E$ et $\rm a\in I$.
Si $f$ est continue alors $f$ possède une unique primitive $\rm F$ s’annulant en $\rm a$ : $\rm F(\mathcal x)=\displaystyle\int_a^\mathcal x \mathcal f(t)dt$. Par conséquent, $\rm \displaystyle\frac{d}{d\mathcal x}\left(\int_a^\mathcal x\mathcal f(t)dt\right)=\cal f(x)$.

Théorème du changement de variables :

Soit $\varphi : \rm I\to J$ de classe $\rm C^1$ et $f : \rm J\to E$ continue.
Pour tous $\rm a,b\in I$, $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\varphi’(\mathrm t)\cdot f(\varphi\rm (t))dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}\mathcal f(s)ds$.

Théorème : Formule de Taylor avec reste intégral

Soient $f :\rm I\to E$ et $\rm a\in I$.
Si $f$ est de classe $\rm C^{n+1}$, pour tout $x\in \rm I$,
$f(x)=\rm \displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{(\mathcal x-a)^k}{k !}\mathcal f^{(k)}(a)+\int_a^\mathcal x\frac{(\mathcal x-t)^n}{n !}\mathcal f^{(n+1)}(t)dt$.

Théorème : Inégalité de Taylor-Lagrange

Soient $f :\rm I\to E$ et $\rm a\in I$.
Si $f$ est de classe $\rm C^{n+1}$ et si $f^{(\rm n+1)}$ est bornée, alors pour tout $x\in \rm I$, 
$\left\|f(x)-\rm \displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{(\mathcal x-a)^k}{k !}\mathcal f^{(k)}(a)\right\|\leq\frac{|\mathcal x-a|^{n+1}}{(n+1) !}\sup_{t\in I}\left\|\mathcal f^{(n+1)}(t)\right\|$.

Théorème : Formule de Taylor-Young

Soient $f :\rm I\to E$ et $\rm a\in I$.
Si $f$ est de classe $\rm C^n$,
$f(x)=\rm \displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{(\mathcal x-a)^k}{k !}\mathcal f^{(k)}(a)+(\mathcal x-a)^n\epsilon(\mathcal x)$ avec $\epsilon(x)\underset{x\to \mathrm a}\to \rm 0_E$.
Cette formule est le développement limité de $f$ à l’ordre $\rm n$ en $\rm a$.