Principe fondamental de la dynamique

Il existe un repère $\rm Rg$, appelé repère galiléen, et une chronologie, appelée chronologie galiléenne, tels que, pour tout ensemble matériel $\rm E$, le torseur des actions mécaniques extérieures appliquées à $\rm E$ est égal au torseur dynamique de $\rm E$ dans son mouvement par rapport à $\rm Rg$.

$\rm \left\{\tau_{\bar{E} \rightarrow E}\right\}=\left\{D_{E / R_{g}}\right\}$

avec :

$\rm \left\{\tau_{\bar{E} \rightarrow E}\right\}$ : torseur des actions mécaniques extérieures à $\rm E$.
$\rm \left\{D_{E / R_{g}}\right\}$ : torseur dynamique de $\rm E$ dans son mouvement par rapport à $\rm Rg$.

Théorème de la résultante dynamique : $\rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in E / R_g} = \vec{R}_{\bar{E} \rightarrow E}$

Théorème du moment dynamique : $\rm \overrightarrow{\delta}_{A \in E / R_g} = \vec{M}_A(\bar{E} \rightarrow E)$

Cas particulier : $\bf\color{burntorange}{E}$ est en mouvement de translation / $\bf\color{burntorange}{R_g}$

$\rm \left\{\tau_{\bar E \rightarrow E}\right\}=\left\{D_{E / R_{g}}\right\}$ $\rm =\left\{m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in E / R_{g}}, \overrightarrow{0}\right\}_{G}$

soit

$\rm \vec{R}_{\bar{E} \rightarrow E} = m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in E / R_{g}}$
$\rm \vec{M}_G(\bar{E} \rightarrow E) = \overrightarrow{\delta}_{G \in E / R_{g}} = \overrightarrow{0}$

Cas particulier : $\bf\color{burntorange}{E}$ est en mouvement de rotation autour d'un axe fixe par rapport à $\bf\color{burntorange}{R_g}$ ($\bf\color{burntorange}{E}$ est en mouvement de rotation autour de $\bf\color{burntorange}{O \vec{z}}$)

$\rm \left\{D_{E / R_{g}}\right\} = \left\{m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in E / R_{g}}, \overrightarrow{\delta}_{O \in E / R_{g}}\right\}_{0}$

avec : $\rm \overrightarrow{\delta}_{O \in E / R_{g}} = \left[\dfrac{d\left[I_{0}(E)\right]\overrightarrow{\Omega}_{E / R_{g}}}{dt}\right]_{R_{g}}$

avec :

$\rm \left[I_{o}(E)\right]$ : la matrice d’inertie du solide $\rm E$ exprimée au point $\rm O$ dans $\rm R_g$ (unité des termes de la matrice : $\rm kg.m^2$).
$\rm \overrightarrow{\Omega}_{E / R_g}$ : le vecteur vitesse angulaire du mouvement de $\rm E/R_g$ (ici $\rm \overrightarrow{\Omega}_{E / R_g} = \omega_{E / R_g} \cdot \vec{Z}$ donc $\rm \dfrac{\overrightarrow{d\Omega}_{E / R_g}}{d t}=\dot{\omega}_{E / R_g} \cdot \vec{Z}$ avec $\rm \dot{\omega}_{E / R_g}$ en $\rm rad/s^{2}$)

Si $\rm (E)$ présente géométriquement l’axe $\rm O \vec{z}$ comme axe de symétrie alors :

$\rm \overrightarrow{\delta}_{O \in E / R_{g}} = \left[I_{O}(E)\right] \cdot \dfrac{d\omega_{E / R g}}{d t} \cdot \vec{z}$ $\rm =I_{Oz}(E) \dot{\omega}_{E / R g} \cdot \vec{z}$

avec :

$\rm I_{Oz}(E)$ : moment d’inertie de $\rm E$ par rapport à $\rm O\vec{z}$ (unité : $\rm kg.m^{2}$)
$\rm \dfrac{d\omega_{E / R_g}}{d t}$ : accélération angulaire de $\rm \omega_{E/R_g}$ $\rm (\overrightarrow{\Omega}_{E / R g} = \omega _{E / R_g}\cdot \vec z$ dans le cas particulier choisi) (unité : $\rm rad/s^{2}$).

soit :

$\rm \overrightarrow{R}_{\bar{E} \rightarrow E} = m.\overrightarrow{\Gamma}_{G \in E / R_{g}}$

$\rm \overrightarrow{M}_{0}(\bar{E} \rightarrow E)=I_{O z}(E) \cdot \dot{\omega}_{E / R g}\cdot \vec{z}$

Équilibrage

Le solide est dit ÉQUILIBRÉ STATIQUEMENT si son centre d’inertie $\rm G$ appartient à l’axe de rotation.

Le solide est dit ÉQUILIBRÉ DYNAMIQUEMENT si l’axe de rotation est principal d’inertie.