Le torseur dynamique de l’ensemble matériel $\rm S$ dans son mouvement par rapport au repère $\rm R$ est, en un point $\rm A$ quelconque, le torseur suivant :
$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm \displaystyle \int_{M \in S} \overrightarrow{\Gamma}_{M / R} \cdot dm\\ \rm \displaystyle \int_{M \in S} \overrightarrow{A M} \wedge \overrightarrow{\Gamma}_{M / R} \cdot d m\end{array}\right\}_{A}$ $\rm\scriptstyle =\left\{\begin{array}{cc}\rm m\cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{\delta}_{A(S / R)} ~=~ \left[\frac{d \overrightarrow{\sigma}_{A(S / R)}}{dt}\right]_{R} ~+~ \left[\frac{d \overrightarrow{O A}}{d t}\right]_{R} \wedge m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R}\end{array}\right\}_A$
$\rm m\cdot\overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}$ est la résultante dynamique de l’ensemble $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$.
$\rm \overrightarrow{\delta}_{A(S / R)}$ est le moment dynamique en $\rm A$ de l’ensemble $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$.
$\rm \overrightarrow{\delta}_{B(S / R)} = \overrightarrow{\delta}_{A(S / R)}+\overrightarrow{B A} \wedge m \cdot\overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}$
Cas particulier 1 :
Expression du torseur dynamique en $\rm G$, centre d’inertie de $\rm S$.
$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{\delta}_{G(S / R)}=\left.\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{G(S / R)}}{d t}\right|_{R}\end{array}\right\}_G$
Cas particulier 2 :
Expression du torseur dynamique en $\rm O$, point fixe du mouvement de $\rm S/R$ :
$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m\cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R} \\ \rm \overrightarrow{\sigma}_O(S / R) = \left. \dfrac{d\overrightarrow{\sigma}_{O(S / R)}}{d t}\right|_{R}\end{array}\right\}_O$
Cas particulier 3 :
$\rm S$ est une masse ponctuelle, concentrée au point $\rm G$ :
$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}_{G}$
Cas particulier 4 :
Le mouvement de $\rm S/R$ est un mouvement de translation.
$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc} \rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}_{G}$
Si $\rm S=\sum_{i} S_{i}$ alors $\rm \left\{D_{S / R}\right\}=\sum_{i}\left\{D_{S_{i} / R}\right\}$