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Torseur cinétique / Torseur dynamique

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Torseur cinétique

Soit un ensemble matériel S de masse m, de centre d’inertie G, en mouvement par rapport à un repère galiléen R(O,x,y,z).

Torseur cinétique

Le torseur cinétique de l’ensemble matériel S dans son mouvement par rapport au repère R est, en un point A quelconque, le torseur suivant :

{CS/R}={MSVM/RdmMSAMVM/Rdm}A = {mVGS/RσA(S/R)=mAGVAS/R + [IA(S)]Ωs/R}A

[IA(S)] : matrice d’inertie du solide S en A
ΩS/R : vecteur vitesse angulaire de S/R
mVGS/R est la résultante cinétique de l’ensemble S dans son mouvement par rapport à R.
ΓA(S/R) est le moment cinétique en A de l’ensemble S dans son mouvement par rapport à R.

σB(S/R)=ΓA(S/R)+BAmVGS/R

Cas particulier 1 :

Expression du torseur cinétique en G, centre d’inertie de S :

{CS/R}={mVGS/RσG(S/R)=[IG(S)]Ωs/R}G

Cas particulier 2 :

Expression du torseur cinétique en O, point fixe du mouvement de S/R :

{CS/R}={mVGS/RσO(S/R)=[Io(S)]ΩS/R}0

Cas particulier 3 :

S est une masse ponctuelle, concentrée au point G :

{Cs/R}={mVGS/R0}G

Cas particulier 4 :

Le mouvement de S/R est un mouvement de translation :

{Cs/R}={mVGS/R0}G

Si S=iSi alors {Cs/R}=i{Csi/R}

Torseur dynamique

Le torseur dynamique de l’ensemble matériel $\rm S$ dans son mouvement par rapport au repère $\rm R$ est, en un point $\rm A$ quelconque, le torseur suivant :

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm \displaystyle \int_{M \in S} \overrightarrow{\Gamma}_{M / R} \cdot dm\\ \rm \displaystyle \int_{M \in S} \overrightarrow{A M} \wedge \overrightarrow{\Gamma}_{M / R} \cdot d m\end{array}\right\}_{A}$ $\rm\scriptstyle =\left\{\begin{array}{cc}\rm m\cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{\delta}_{A(S / R)} ~=~ \left[\frac{d \overrightarrow{\sigma}_{A(S / R)}}{dt}\right]_{R} ~+~ \left[\frac{d \overrightarrow{O A}}{d t}\right]_{R} \wedge m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R}\end{array}\right\}_A$

$\rm m\cdot\overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}$ est la résultante dynamique de l’ensemble $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$.
$\rm \overrightarrow{\delta}_{A(S / R)}$ est le moment dynamique en $\rm A$ de l’ensemble $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$.

$\rm \overrightarrow{\delta}_{B(S / R)} = \overrightarrow{\delta}_{A(S / R)}+\overrightarrow{B A} \wedge m \cdot\overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}$

Cas particulier 1 :

Expression du torseur dynamique en $\rm G$, centre d’inertie de $\rm S$.

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{\delta}_{G(S / R)}=\left.\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{G(S / R)}}{d t}\right|_{R}\end{array}\right\}_G$

Cas particulier 2 :
Expression du torseur dynamique en $\rm O$, point fixe du mouvement de $\rm S/R$ :

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m\cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R} \\ \rm \overrightarrow{\sigma}_O(S / R) = \left. \dfrac{d\overrightarrow{\sigma}_{O(S / R)}}{d t}\right|_{R}\end{array}\right\}_O$

Cas particulier 3 :

$\rm S$ est une masse ponctuelle, concentrée au point $\rm G$ :

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}_{G}$

Cas particulier 4 :

Le mouvement de $\rm S/R$ est un mouvement de translation.

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc} \rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}_{G}$

Si $\rm S=\sum_{i} S_{i}$ alors $\rm \left\{D_{S / R}\right\}=\sum_{i}\left\{D_{S_{i} / R}\right\}$

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