Calcul d'intégrale et de primitive

1) 

a) Intégration par parties (IPP)

Formule d'IPP pour une primitive : $\displaystyle{\int u'(x)v(x){\rm d}x = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x}$. 

Formule d'IPP pour une intégrale: $\displaystyle{\int_a^b u'(x)v(x){\rm d}x = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x}$. 

Une primitive est une fonction alors qu'une intégrale est un nombre positif ou négatif. 

b) Exemples : 

Calculons une primitive de $f(x) = xe^{-x}$. On choisit $u'(x)=e^{-x}$ et $v(x)=x$. Donc $u(x) = -e^{-x}$ et $v'(x)=1$. 

La formule d'IPP donne : $\displaystyle{F(x) = \int xe^{-x}{\rm d}x = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x = -e^{-x}x - \int -e^{-x}{\rm d}x}$ 

$\displaystyle{F(x) = -xe^{-x} + \int e^{-x}{\rm d}x = -xe^{-x} -e^{-x} = -(x+1)e^{-x}}$. 

Remarque : on peut vérifier le résultat en dérivant $F$. On trouve bien $F'=f$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.

Calculons l'intégrale $\displaystyle{I = \int_1^e \ln(x){\rm d}x}$. 

On choisit $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln(x)$. Donc $u(x)=x$ et $v'(x) = 1/x$.

D'après la formule d'IPP pour les intégrales, on a :

$\displaystyle{I = [x\ln(x)]_1^e - \int_1^ex \frac{1}{x}{\rm d}x = e\ln(e)-1\ln(1) - \int_1^e 1 {\rm d}x = e - (e-1) = 1}$.

2) a) La formule de changement de variable.Le but est de réécrire l'intégrale sous une autre forme de façon à ce que la nouvelle intégrale soit plus simple à calculer.

La méthode est la suivante. 

• On définit $u = \varphi(t)$, $t$ étant l'ancienne variable d'intégration et $u$ la nouvelle. 
• On dérive l'égalité précédente pour obtenir : ${\rm d}u = \varphi'(t) {\rm d}t$ et on exprime ${\rm d}t$ en fonction de $u$ et ${\rm d}u$.
• On réécrit l'intégrale en fonction uniquement de la nouvelle variable $u$ et on change les bornes.

b) Exemples :

On veut calculer $\displaystyle{I = \int_0^1 \frac{e^{4t}}{e^{2t}+1}{\rm d}t}$. On ne voit pas de primitive de la fonction à intégrer. 

• On décide de poser $u=e^{2t}$.
• On a alors ${\rm d}u = 2e^{2t} {\rm d}t$ (car $(e^{2t})' = 2e^{2t}$). Donc $\displaystyle{{\rm d}t = \frac{{\rm d}u}{2e^{2t}} = \frac{1}{2u}{\rm d}u}$ car $e^{2t}=u$. 
• Lorsque $t = 0$ alors $u=e^{2\times 0} =1$. Lorsque $t=1$ alors $u = e^{2\times 1}=e^2$. 

L'intégrale s'écrit $\displaystyle{I = \int_0^1 \frac{e^{4t}}{e^{2t}+1}{\rm d}t = \int_1^{e^2} \frac{u^2}{u+1}\frac{1}{2u}{\rm d}u = \frac{1}{2} \int_1^{e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u }$.

Pour calculer l'intégrale, on décompose la fraction : 

$\displaystyle{\frac{u}{1+u} = \frac{1+u-1}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u}}$

On a alors $\displaystyle{\int_1^{e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u = \int_1^{e^2} 1 {\rm d}u - \int_1^{e^2} \frac{1}{1+u}{\rm d}u= [u]_1^{e^2} - [\ln(1+u)]_1^{e^2}} = e^2-1 - \ln(1+e^2) + \ln(2)$.

Donc $\displaystyle{I = \frac{1}{2}\left(e^2-1 - \ln(1+e^2) + \ln(2)\right)}$.

3) Primitive de fractions rationnelles.

Le principe général est de faire une DES de la fraction. Pour les éléments de deuxième espèce du type $\displaystyle{\frac{1}{ax^2+bx+c}}$ avec un dénominateur à discriminant $<0$, on met sous forme canonique $ax^2+bx+c = \alpha(1+u^2)$ et on se ramène à l'aide d'un changement de variable affine à une primitive en arctangente.

Pour des éléments de deuxième espèce du type $\displaystyle{\frac{dx+e}{ax^2+bx+c}}$ on fait apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur. 

4) Primitive de polynômes trigonométriques.

Il s'agit de somme d'expression du type $\cos^{p}(x)\sin^{q}(x)$ avec $p$ et $q$ des entiers naturels

Plusieurs cas sont à envisager.

1er cas) si ($q$ est impair et $p$ quelconque) alors on fait le changement de variable $y=\cos(x)$.

Exemple :
$\displaystyle{A(x) = \int \cos^2(x) \sin^3(x){\rm d}x}$

$\displaystyle{A(x) = \int \cos^2(x) \sin^2(x)\sin(x){\rm d}x}$

$\displaystyle{A(x) = \int \cos^2(x) (1-\cos^2(x)) \sin(x){\rm d}x}$. 

Posons $y = \cos(x)$. Alors $d y = -\sin(x) d x$. 

On a donc $\displaystyle{A(y) = - \int y^2 (1-y^2) {\rm d}y = -\int (y^2 - y^4){\rm d}y = - \frac{y^3}{3} + \frac{y^5}{5} =- \frac{\cos^3(x)}{3} + \frac{\cos^5(x)}{5}}$.

Remarque : lorsqu'on fait un changement de variable dans une primitive, ne pas oublier de revenir à la variable initiale. Ici, il faut revenir en $x$ c'est-à-dire remplacer $y$ par $\cos(x)$.

2ème cas) si ($p$ est impair et $q$ quelconque). C'est le même principe mais ici on fait le changement de variable $y=\sin(x)$.

3ème cas) Si $p$ et $q$ sont pairs, il faut linéariser l'expression $\cos^p(x)\sin^q(x)$.

Pour linéariser :

• Soit on utilise des formules de trigonométrie si les puissances ne sont pas trop élevées. 
  Exemple. Calculer $\displaystyle{I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(x){\rm d}x}$ (ici $p=2$ et $q=0$). 
  Une formule de trigonométrie donne $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ donc $\displaystyle{\cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+\cos(2x))}$. 
  Donc $\displaystyle{I = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos(2x)){\rm d}x = \frac{\pi}{4}}$.
• Si les puissances $p$ et $q$ sont élevées alors on linéarise à l'aide des formules d'Euler : $\displaystyle{\cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})}$ et $\displaystyle{\sin(x) = \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})}$. 

5) Primitive de fractions rationnelles en $\cos(x)$ et $\sin(x)$.

Il s'agit d'un quotient de deux polynômes trigonométriques. 

La méthode appelée règle de Bioche repose sur un changement de variable. Notons $f$ la fonction à intégrer.

a) Lorsque l'expression à intégrer est impaire c'est-à-dire $f(-x)=-f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\cos(x)$. Comme $dy = -\sin(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$.

Exemple : calculer $\displaystyle{\int \frac{1}{\sin(x)}{\rm d}x}$. La fonction $\displaystyle{\frac{1}{\sin(x)}}$ est impaire. Pour faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sin(x)$. 

$\displaystyle{A(x) = \int \frac{1}{\sin(x)}{\rm d}x = \int \frac{\sin(x)}{\sin^2(x)}{\rm d}x = \int \frac{\sin(x)}{1-\cos^2(x)}{\rm d}x}$.

On fait le changement de variable $y=\cos(x)$.

$\displaystyle{A(x) = -\int \frac{1}{1-y^2}{\rm d}y}$.

La fonction $\displaystyle{\frac{1}{1-y^2}}$ est une fraction rationnelle. Elle se décompose en éléments simples (DES) : 

$\displaystyle{\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-y}+ \frac{1}{1+y}\right)}$.

Donc $\displaystyle{A(x) = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-y}{\rm d}y - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+y}{\rm d}y = \frac{1}{2}\ln|1-y| - \frac{1}{2} \ln|1+y| = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-y}{1+y}\right|}$.

En revenant à la variable initiale :

$\displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}\right| = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}\right| = \ln|\tan(x/2)|}$.

b) Lorsque l'expression à intégrer vérifie $f(\pi-x)=-f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\sin(x)$. Comme $dy = \cos(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\cos(x)dx$.

c) Lorsque l'expression à intégrer est $\pi$-périodique c'est-à-dire $f(t+\pi)=f(t)$ alors on fait le changement de variable $y=\tan(x)$. Comme $dy = (1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{dy = \frac{1}{\cos^2(x)}d x}$, il faut donc faire apparaître la quantité $(1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{dy = \frac{1}{\cos^2(x)}d x}$.

d) Si l'une des trois règles ci-dessus ne s'applique pas alors on effectue le changement de variable $t = \tan(x/2)$. Ce changement de variable transforme la fonction à intégrer en une fraction rationnelle en $t$ grâce aux formules de trigonométrie : 

$\displaystyle{\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}}$, $\displaystyle{\cos(t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}}$ et $\displaystyle{\sin(x) =\frac{2t}{1+t^2}}$.