Changement d'indice dans une somme

Voici les 3 étapes pour faire un changement d'indice dans une somme :

1. On définit le nouvel indice en fonction de l'ancien
2. On détermine entre quelle valeur et quelle autre valeur varie le nouvel indice
3. On réécrit la somme en fonction uniquement du nouvel indice

Exemple :

Soit à calculer la somme $\displaystyle{S_n = \sum_{k=7}^{n}k}$.

On sait d'après le cours que $\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}i = \frac{p(p+1)}{2}}$. On ne peut pas ici utiliser tout de suite cette formule car la somme $\displaystyle{S_n}$ ne commence pas à 1 mais à 7.

On va donc faire un changement d'indice de telle sorte que l'indice débute à 1 et non à 7.

1. On pose $\displaystyle{i = k-6}$ ($i$ est le nouvel indice et $k$ est l'ancien).
2. On a $\displaystyle{7 \le k \le n}$ donc $\displaystyle{7-6 \le k-6 \le n-6}$ c'est-à-dire $\displaystyle{1 \le i \le n-6}$.
3. On réécrit la somme en fonction du nouvel indice. Puisque $\displaystyle{i =  k-6}$ on a donc $\displaystyle{k=i+6}$.

Donc $\displaystyle{S_n = \sum_{k=7}^{n}{k} = \sum_{i=1}^{n-6}(i+6)}$.

Attention, on ne peut toujours pas utiliser la formule du cours $\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}i = \frac{p(p+1)}{2}}$ car à l'intérieur de la somme on a $i+6$ et non pas $i$.

On a $\displaystyle{S_n = \sum_{i=1}^{n-6}(i+6) = \sum_{i=1}^{n-6}i + \sum_{i=1}^{n-6}6}$.

La première somme est $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}i = \frac{(n-6)(n-5)}{2}}$. Là, on peut utiliser la formule du cours. On a remplacé $\displaystyle{p}$ par $\displaystyle{n-6}$. 

La deuxième somme est $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}6 = 6 + 6 + \ldots +6}$ où le nombre $\displaystyle{6}$ apparait $(n-6)$ fois. 

(Remarque : il faut savoir que dans une somme du type $\displaystyle{\sum_{k=p}^{q}{a_k}}$ il y a $\displaystyle{q-p+1}$ termes.)

On a donc $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}{6} = (n-6)\times 6}$.

Donc au final $\displaystyle{S_n = \frac{(n-6)(n-5)}{2} + 6(n-6)}$.

On factorise par $\displaystyle{n-6}$: $\displaystyle{S_n = (n-6)\left(\frac{(n-5)}{2} + 6\right) = (n-6)\frac{n+7}{2}}$ donc $\displaystyle{S_n = \frac{(n-6)(n+7)}{2}}$.

Test de cohérence : on va vérifier que la formule qu'on a trouvée est cohérente avec $\displaystyle{n=7}$.

Si on reprend la définition de $\displaystyle{S_7}$, on a $\displaystyle{S_7 = \sum_{k=7}^{7}k = 7}$. 

Si on prend la formule qu'on a trouvée, on a $\displaystyle{\frac{(7-6)(7+7)}{2} = 7}$.

C'est donc cohérent.