Circuits linéaires du premier ordre

Un circuit linéaire du premier ordre est un système physique décrit par une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. Des exemples classiques de circuits linéaires du premier ordre sont les circuits RC (charge ou décharge) et RL (établissement ou disparition du courant). Pour tous ces circuits la méthode de résolution est globalement la même, on décrit ci-dessous la méthode avec l’exemple de la charge d’un condensateur.

1. Appliquer la loi des mailles

$E=Ri+u_c$

2. Établir l’équation différentielle

Dans la relation obtenue avec la loi des mailles, on choisit de garder une seule inconnue, par exemple $u_c$. Il faut donc éliminer $i$, ce qui peut être fait avec la relation $i=C\frac{du_c}{dt}$. D’où :

$\frac{du_c}{dt}=-\frac{uc}{\tau}+\frac{E}{\tau}$

avec $\tau=RC$.

3. Résoudre l’équation différentielle

La solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre présente deux parties : (i) la solution générale de l’équation sans second membre et (ii) une solution particulière de l'équation complète.

$u_c=K.exp \left( -\frac{t}{\tau} \right) + E$

avec K une constante d’intégration.

4. Déterminer de la constante K

Pour déterminer K, il faut utiliser les conditions initiales en sachant que :

• pour un condensateur, la tension est continue,
• pour une bobine, l’intensité est continue.

Dans notre cas d’étude, à savoir la charge d’un condensateur, $u_c(0^-) = 0$, donc $u_c(0^+)=E+K=0$. Ainsi :

$u_c=E \left( 1-exp \left( -\frac{t}{\tau} \right) \right)$

5. Représenter graphiquement la solution obtenue

Pour un graphique précis, on peut tracer la tangente à l’origine et l’asymptote à la courbe pour $t \rightarrow \infty$.