Correcteurs

On rappelle tout d'abord la forme du correcteur à avance de phase :

$\rm C_{avance} = K_{a}\dfrac{1+a\tau p}{1+\tau p} ~\text{avec}~ a>1$

L'objectif est de déterminer un moyen d'obtenir le gain statique $\rm K_{a}$, la constante de temps $\tau$, ainsi que le coefficient $\rm a$. La valeur de phase maximale vaut :

$\rm \varphi_{max}=\arcsin\left( \dfrac{a-1}{1+a} \right) > 0$ à la pulsation $\rm \omega_{m}=\dfrac{1}{\sqrt{a}\tau}$

De ces formules, on peut extraire la méthode de dimensionnement du correcteur :

Étape 1 : Choisir $\rm a$ pour régler l'avance de phase $\varphi_{max}$ en fonction de la marge de phase désirée.

Étape 2 : Calculer $\tau$ pour se placer à la pulsation $\rm \omega_{m}$ où l'on souhaite faire varier la phase.

Étape 3 : Régler $\rm K_{a}$ afin d'annuler le gain à la pulsation $\rm \omega_{m}$ et donc se placer dans les bonnes conditions de vérification de la marge de phase : « Pour un gain nul, à quelle distance la phase correspondante se trouve-t-elle de $-180°$ ? »

Si cette distance est supérieure ou égale à la marge de phase du cahier des charges, le correcteur est bien dimensionné.

Souvent l'énoncé proposera un correcteur qu'il faudra dimensionner afin de répondre à un cahier des charges, mais parfois il sera demandé, en fin d'épreuve ou pendant un oral de travaux pratiques, de proposer un correcteur et de justifier son utilisation. On rappelle les 3 critères que doit satisfaire un système asservi : rapidité, précision, stabilité. On ne peut contrôler les 2 premiers critères que si le troisième est satisfait. Un correcteur doit aider le système asservi à trouver un bon compromis entre ces 3 critères, sachant que la stabilité est prioritaire.

Pour choisir un correcteur, il faut donc suivre les étapes suivantes :

Étape 1 : Analyser le système sans correction, tracer son diagramme de Bode en boucle ouverte et éventuellement sa réponse temporelle.

Étape 2 : Traduire le cahier des charges afin de quantifier les 3 critères : stabilité (marge de phase), précision (erreur), rapidité (temps de réponse à $5\%$).

Étape 3 : Choisir la structure du correcteur en gardant à l'esprit les avantages et inconvénients de chacun d'entre eux.

Étape 4 : Déterminer les paramètres du correcteur et vérifier les performances du système corrigé. Si elles ne satisfont pas le cahier des charges, choisir un autre correcteur.