Pour calculer un champ électrostatique, il existe trois méthodes que l’on décrit ci-dessous. 

Quelque soit la méthode de calcul, le problème est fortement simplifié par le principe de Curie qui implique que les symétries des distributions de charges se retrouvent forcément au niveau du champ (et du potentiel) électrostatique.

Ainsi, la première étape est toujours d’identifier les symétries des distributions de charges pour déterminer la direction du champ $\vec E$. Pour cela, on utilisera les deux propriétés suivantes :

  • En tout point d’un plan de symétrie, le champ électrique est contenu dans ce plan.
  • En tout point d’un plan d'antisymétrie, le champ électrique est orthogonal à ce plan.

La seconde étape consiste à identifier les invariances du problème car celles-ci permettent de choisir un système de coordonnées adapté au problème et de déterminer de quelle(s) coordonnée(s) dépend le champ et le potentiel.

Exemple : Si une distribution de charges est invariante pour toute translation parallèle à (Oz), champ et potentiel seront indépendants de la coordonnée z.

Les étapes suivantes dépendent de la méthode choisie.

1. Calcul direct

Lorsqu’on dispose d’une distribution de charges qui présente un faible degré de symétrie et qu’il est facile de paramétrer, on peut faire le calcul du champ électrostatique en calculant explicitement l’intégrale :

$\vec E = \iiint _V \frac{\rho d \tau}{4\pi \epsilon _0 r^2} \vec u$

C’est un calcul vectoriel, on prendra donc garde aux projections.

Bien sûr avant de commencer le calcul on utilisera les simplifications trouvées lors des étapes 1 et 2.

2. Calcul via le potentiel $V$

Cette méthode est très ressemblante à la méthode directe sauf qu’au lieu de calculer $\vec E$, on calcule $V$ :

$V = \iint _V \frac{\rho d \tau}{4\pi \epsilon _0 r}$

On en déduit alors $\vec E$ :

$\vec E = - \vec{grad} V$

3. Calcul via le théorème de Gauss

Dans le cas d’un problème à forte symétrie (par exemple symétrie cylindrique ou sphérique), on pourra utiliser cette méthode. On commence par choisir une surface de Gauss fermée (elle présente généralement la même symétrie que la distribution) et on applique alors le théorème de Gauss :

$\iint _{S_g} \vec E . \vec{dS}=\frac{Q_{int}}{\epsilon _0}$

avec $Q_{int}$ la charge algébrique totale, contenue dans le volume délimité par la surface de Gauss, $S_g$. 

On fera attention au calcul de $Q_{int}$ en particulier car son calcul peut nécessiter la distinction de plusieurs cas.