Equations différentielles linéaires du 1er et du 2nd ordre

1) Équations différentielles linéaires du 1er ordre

a) Définition :

• Une équation différentielle est une équation faisant intervenir une fonction inconnue $f$ ainsi que ses dérivées: $f'$, $f''$, $\ldots$. L'inconnue $f$ est souvent notée $y$.
• Une équation différentielle linéaire $\rm (EDL)$ du $\rm 1^{er}$ ordre est une équation du type $\alpha(x) y' + \beta(x) y= \gamma(x)$.

Exemple : $(2+\cos(x))y' + \sin(x) y = (2+\cos(x))\sin(x)$

Contre-exemple : $y'' + x^2y' = y^2$.

• On dit que l'EDL du $\rm 1^{er}$ ordre est résolue si elle peut s'écrire $(\mathrm E): y'+a(x) y =b(x)$ (c'est-à-dire le coefficient devant $y'$ vaut $1$). 
• L'équation $(\mathrm E_0): y'+a(x)=0$ s'appelle l'équation différentielle homogène associée $\rm (EDHA)$ à v(E)$. 

b) Méthode pour résoudre une EDL du $\bf 1^{er}$ ordre 

1ère étape : si on a une équation du type $\alpha(x) y' + \beta(x) y= \gamma(x)$, on se place sur les intervalles sur lesquels la fonction $\alpha$ ne s'annule pas. Dans ce cas, on peut diviser l'équation par la fonction $\alpha$: $\displaystyle{y' + \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} y = \frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}}$.

Notons $\rm I$ l'intervalle de résolution choisi. 

2ème étape : on résout l'équation différentielle homogène associée $\rm (EDHA)$ $(\mathrm E_0): y'+a(x)=0$. Un théorème nous dit que toutes les solutions de $\rm (E_0)$ sont de la forme $y_0(x) = \lambda \mathrm e^{-\mathrm A(x)}$ avec $\rm A$ une primitive de $a$ sur l'intervalle $\rm I$ de résolution. 

3ème étape : On cherche une solution particulière de $\rm (E)$. Soit on voit une solution particulière évidente. Soit on la cherche à l'aide de la méthode de la variation de la constante $\rm (MVC)$. On commence par choisir une solution de $\rm (E_0)$. En général, on prend $y_0(x) = \mathrm e^{-\mathrm A(x)}$ c'est-à-dire qu'on a choisi $\lambda=1$.
On cherche ensuite une solution particulière $y_p$ de $\rm (E)$ sous la forme $y_p = \mu y_0$ avec $\mu$ une fonction dérivable inconnue.

On a $(y_p)' = \mu' y_0 + \mu y_0'$ donc $y_p$ est solution de $\rm (E)$ si et seulement si $\mu' y_0 + \mu y_0' + a\mu y_0 = b \iff \mu ' y_0 + \mu(y_0'+a y_0) = b$. Comme $y_0$ est une solution de $\rm (E_0)$, on a $y_0'+a y_0=0$ donc on a $\mu' y_0 = b$ soit $\displaystyle{\mu = \int \frac{b}{y_0}}$.

4ème étape : Un théorème affirme que toutes les solutions de $\rm (E)$ s'obtiennent en additionnant toutes les solutions de $\rm (E_0)$ avec une solution particulière de $\rm (E)$.

c) Exemple : résoudre l'équation $(2+\cos(x))y' + \sin(x) y = (2+\cos(x))\sin(x)$. Comme $2+\cos(x)$ ne s'annule jamais on peut diviser par cette expression: $\displaystyle{(E) : y' + \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} y = \sin(x)}$. On va donc résoudre sur ${\Bbb R}$.

L'$\rm EDHA$ est $\displaystyle{(\mathrm E_0) : y' + \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} y = 0}$.

Les solutions sont du type $y_0(x) = \lambda \mathrm e^{-\mathrm A(x)}$ avec $\displaystyle{A(x) = \int \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} {\rm d}x = -\ln(2+\cos(x))}$.

On a donc $\displaystyle{y_0(x) = \lambda \exp(\ln(2+\cos(x))) = \lambda(2+\cos(x))}$. 

On cherche une solution particulière avec la $\rm MVC$. On choisit $y_0(x) = 2+\cos(x)$. On cherche ensuite une solution particulière $y_p$ de $\rm (E)$ sous la forme $y_p = \mu y_0$ avec $\mu$ une fonction dérivable inconnue.
D'après le cours, on a $\displaystyle{\mu(x) = \int \frac{b(x)}{y_0(x)} {\rm d}x= \int \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} {\rm d}x = -\ln(2+\cos(x))}$.

Donc $y_p(x) = -(2+\cos(x))\ln(2+\cos(x))$.

Finalement, toutes les solutions de $(E)$ sont $x \in \mathbb R \mapsto - (2+\cos(x))\ln(2+\cos(x)) + \lambda(2+\cos(x))$.

2) Équations différentielles linéaires du 2nd ordre

a) Définition : Soient $(a,b,c) \in {\Bbb R}^3$. On suppose que $a \neq 0$. 

Soit $\varphi: {\Bbb R}\rightarrow {\Bbb R}$ ou ${\Bbb C}$ une fonction continue sur ${\Bbb R}$.

L'équation $(\mathrm E): ay''+by'+cy=\varphi(x)$ s'appelle une $\rm EDL$ du second ordre à coefficients constants.

La fonction $\varphi$ est une fonction de la forme suivante :

• $x \mapsto \mathrm P(x)\mathrm e^{\lambda x}$ avec $\lambda$ un nombre complexe et $\rm P$ un polynôme à coefficient complexe.
• $x \mapsto \mathrm B\cos(\omega x)$ avec $\rm (B,\omega) \in {\Bbb R}^2$
• $x \mapsto \mathrm B\sin(\omega x)$ avec $\rm (B,\omega) \in {\Bbb R}^2$

b) Résolution de $(\mathrm E_0): ay''+by'+cy=0$. 

Théorème :

• Si $\Delta>0$ alors les solutions sont les fonctions du type $y(x) = \lambda_1\mathrm e^{r_1x}+\lambda_2e^{r_2x}$ avec $(\lambda_1,\lambda_2)\in{\Bbb R}^2$ et $r_1$ et $r_2$ les deux racines réelles de l'équation caractéristique.
• Si $\Delta=0$ alors les solutions sont les fonctions du type $y(x) = \left(\lambda_1 x+\lambda_2{\Bbb R}\right)\mathrm e^{r_0x}$ avec $(\lambda_1,\lambda_2)\in{\Bbb R}^2$ et $r_0$ la racine double de l'équation caractéristique.
• Si $\Delta<0$ alors les solutions sont les fonctions du type $x \mapsto \mathrm e^{\alpha x}\left[\mathrm A\cos(\beta x) + \mathrm B\sin(\beta x)\right]$ avec $\rm (A,B)\in{\Bbb R}^2$ et $\alpha=\mathrm{Re}(r)$ et $\beta=\Im(r)$ où $r$ est l'une des racines complexes (non réelles) de l'équation caractéristique.

c) Méthode pour résoudre une EDL du second ordre avec un second membre du type exponentielle-polynomial

La méthode consiste à cherche une solution particulière de la forme $y_p(x) = \mathrm P(x)\mathrm e^{\lambda x}$ avec $\rm P$ un polynôme à coefficients dans ${\Bbb R}$ ou éventuellement ${\Bbb C}$.

d) Méthode pour résoudre une EDL du second ordre avec un second membre du type trigonométrique

On se base sur le théorème suivant 

Théorème : Soit $(a,b,c) \in {\Bbb R}^*\times{\Bbb R}^2$. Soit $\varphi : {\Bbb R} \rightarrow {\Bbb C}$ une fonction à valeurs complexes. 

Soit $\rm (E)$ l'équation différentielle $(E): ay'' + by' + cy = \varphi$.

Si $y$ est une solution particulière de $\rm (E)$ alors la partie réelle $\mathrm{Re}(y)$ est une solution particulière à valeurs réelles de $(\mathrm E_{r}): ay'' + by' + cy$ $= \mathrm{Re}(\varphi)$ et $\mathrm{Im}(y)$ est une solution particulière à valeurs réelles de $(\mathrm E_{i}): ay'' + by' + cy$ $=\rm Im(\varphi)$.

Comme $\cos(\omega x) = \mathrm{Re}(\mathrm e^{i \omega x})$ et $\sin(\omega x) = \mathrm{Im}(\mathrm e^{i \omega x})$, on se ramène à une second membre du type type exponentielle-polynomial.

Exemple : $(\mathrm E): y''+ y = \cos x$

Les solutions réelles de $\rm (E_0)$ sont les fonctions du type $x \mapsto \mu_1 \cos x + \mu_2 \sin x$.

On introduit l'équation $(\mathrm E_1): y''+ y = \mathrm e^{ix}$ car $\cos(x) = \mathrm e^{ix}$. 

Le second membre est sous forme polynomiale-exponentielle.

On cherche une solution particulière de $\rm (E_1)$ sous la forme $x \mapsto Q(x)\mathrm e^{ix}$.

On a $\begin{array}{lll}  y(x) & = & Q(x)\mathrm e^{ix}\\  y'(x) & = & \left[Q'(x) + i Q(x)\right]\mathrm e^{ix}\\  y''(x) & = & \left[Q''(x) + 2iQ'(x) - Q(x)\right]e^{ix} \end{array}$

On a donc $y''(x)+y(x) = \mathrm e^{ix} \iff \, (\star) \, Q''(x) + 2iQ' = 1$.

On cherche un polynôme de degré $1$: $Q(x)=ax+b$ est solution de l'équation $(\star)$ si et seulement si $\forall x \in {\Bbb R}$: $\displaystyle{2 i a = 1 \iff a=-\frac{i}{2}}$

Une solution particulière de $\rm (E_1)$ est donc $\displaystyle{y: x\mapsto -\frac{i}{2}\mathrm e^{ix}}$. D'après le théorème précédent, $\mathrm{Re}(y)$ une solution particulière de $\rm (E)$. 

Or $\displaystyle{\mathrm{Re}(y):x\mapsto \frac{x}{2}\sin x}$. Donc toutes les solutions de $\rm (E)$ sont $\displaystyle{y(x) = \frac{x}{2}\sin x + \mu_1 \cos x + \mu_2 \sin x}$ avec $(\mu_1, \mu_2) \in {\Bbb R}^2$.