Inerties

Soit un solide homogène $\rm S$ de volume non nul dont la géométrie et la masse sont connues. On souhaite simplifier dans une base $\mathcal{B}$ la matrice d'inertie de ce solide au point $\rm A$ dont l'expression générale est donnée par :

où $\mathrm M=(x~y~z)$ est un point de $S$ dont les coordonnées sont exprimées dans le repère de centre $\rm A$ et de vecteurs de base $\mathcal{B}$. Certains termes peuvent être annulés en regardant successivement :

Étape 1 : Les symétries du solide. Par exemple, dans une base cartésienne de vecteurs $\mathcal{B} = (\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})$, si le plan $(x\mathrm Ay)$ est plan de symétrie du solide, on peut éliminer les termes non diagonaux relatifs à l'axe $\overrightarrow{z}$ :

De plus, s'il existe parmi $(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})$ un axe de révolution (symétrie de révolution) passant par $\rm A$, alors tous les termes non diagonaux sont annulés à coup sûr.

Étape 2 : L'existence d'une dimension très petite par rapport aux autres. Par exemple, si on reprend le cas de la symétrie par rapport au plan $(x\mathrm Ay)$, si de plus la dimension selon l'axe $\overrightarrow{z}$ est petite par rapport aux dimensions suivant les 2 autres directions, alors on peut supprimer des intégrales les variables $z$ restantes puisqu'elles sont négligeables par rapport aux variable $x$ et $y$ :

Seul l'énoncé précisera si oui ou non on peut appliquer une hypothèse de dimension petite.

Soit un solide homogène $\rm S$ de volume non nul dont la géométrie et la masse sont connues. On souhaite calculer, dans une base $\mathcal{B}$, la matrice d'inertie de ce solide au centre d'inertie $\rm G$ : $\rm I(G,S)$.

Étape 1 : Calculer, si besoin, les coordonnées du point $\rm G$ au sein du solide $\rm S$ grâce à la définition du centre de gravité :

$\rm \displaystyle \int_{M \in S} \overrightarrow{GM}dm = \overrightarrow{0}$

Étape 2 : Simplifier la matrice d'inertie grâce aux symétries ou hypothèses d'une dimension très petite par rapport aux autres (solide assimilé à une plaque par exemple).

Étape 3 : Considérer le repère de centre $\rm G$ et de vecteurs de base dans $\mathcal{B}$. Si $\mathrm M=(x~y~z)$ est un point de $\rm S$ dans le repère de centre $\rm G$, on peut calculer la matrice d'inertie par intégration des termes qui n'ont pas déjà été annulés dans l'étape précédente :


Remarque : On peut calculer la matrice d'inertie d'un ensemble de solides en calculant la matrice d'inertie de chaque solide séparément, puis en les sommant. Attention la somme n'est possible que si les matrices sont exprimées au même point et dans la même base !