Voici la méthode pour chercher les racines carrées d'un nombre complexe.
Soit $\mathrm A=a+ib$ un nombre complexe. On cherche $z=x+iy$ tel que $z^2=\mathrm A$.
On a $z^2=\mathrm A \iff$ $(x+iy)^2 = a+ib$ $\iff x^2-y^2 +2ixy =a +ib$.
On obtient un système de deux équations à deux inconnues :
$\left\{\begin{array}{lll}
x^2-y^2 & = a \\
2xy & = b
\end{array}\right.$
Pour faciliter la résolution, on ajoute une troisième équation $z^2=A \Rightarrow |z^2| = |A|$. Or $|z^2| = |z|^2 = x^2+y^2$ et $A=\sqrt{a^2+b^2}$.
On obtient donc un système $3$ d'équations à $2$ inconnues :
$\left\{\begin{array}{llll}
x^2-y^2 & = a & (1)\\
x^2+y^2 & = \sqrt{a^2+b^2} & (2)\\
2xy & = b & (3)
\end{array}\right.$
$(1) + (2)$ donne $x$.
$(2) - (1)$ donne $y$. Cela va fournir $4$ couples $(x,y)$ possibles. Mais l'équation $(3)$ indique si $x$ et $y$ sont de même signe ou de signe contraire.
Remarque 1 : on doit toujours obtenir deux racines carrées, la deuxième étant opposée à la première.
Remarque 2 : si $\mathrm A$ est un nombre réel négatif, il est inutile d'utiliser cette méthode. Les racines carrés de $\mathrm A$ sont alors $\pm i\sqrt{-\mathrm A}$.
Exemple :
Cherchons les racines carrées du nombre $\mathrm A=3-4i$.
On cherche donc $z=x+iy$ tel que $z^2=\mathrm A$.
$z^2=a \iff (x+iy)^2=\mathrm A$ $\iff x^2-y^2 + 2xy i = 3-4i$ $\iff
\left\{
\begin{array}{lll}
x^2-y^2= 3\\
2xy= - 4
\end{array}\right.$
L'utilisation du module va fournir une $\rm 3^{ème}$ équation.
$z^2=\mathrm A \Longrightarrow |z^2| = |\mathrm A|$.
Or $|z^2|=|z|^2=x^2+y^2$ et $|\mathrm A|=\sqrt{9+16}=5$. On a donc le système d'équations :
$\left\{\begin{array}{cccc}
x^2-y^2 & = & 3 & (1) \\
x^2+y^2 & = & 5 & (2) \\
\mbox{signe}(xy) & = & \mbox{négatif}
\end{array}
\right.$
En additionnant $(1)$ et $(2)$, on obtient: $2x^2 = 8$ soit $x^2=4$ soit $x = \pm 2$.
En soustrayant $(2)$ et $(1)$, on obtient: $2y^2 = 2$ soit $y^2=1$ soit $y = \pm 1$.
Comme le signe de $x$ et $y$ sont différents, on a ($x=2$ ET $y=-1$) OU ($x=-2$ ET $y=1$).
Les racines carrées de $3-4i$ sont donc $z=2-i \mbox{ et }z=-2+i$.
Vérification : $(2-i)^2 = 4 -4i +i^2 = 3-4i$.