Signaux périodiques

Comment calculer la valeur moyenne d’un signal ?

La valeur moyenne d’un signal $u(t)$ est donnée par :

$< u > =\frac{1}{T} \int _0 ^T u(t) dt$

On peut également retenir que :

$<\cos(\omega t + \phi)>=<\sin( \omega t + \phi)>=0$

$<\cos ^2 (\omega t + \phi )>=<\sin ^2 (\omega t + \phi)>=\frac{1}{2}$

Ainsi la valeur efficace d’un signal purement sinusoïdal est nulle.

Comment calculer la valeur efficace d’un signal ?

La valeur moyenne d’un signal $u(t)$ est donnée par :

$U_{eff}=\sqrt{< u^2>}=\sqrt{\frac{1}{T} \int _0 ^T u^2(t) dt}$

La valeur efficace d’un signal purement sinusoïdal, c’est-à-dire du type $u(t)=Ucos \left( \omega t + \phi \right)$ , est $U_{eff}=\frac{U}{\sqrt{2}}$.

Quelles valeurs indiquent un multimètre ?

Pour un signal du type $u(t)=U_0 + Ucos \left( \omega t + \phi \right)$ , un multimètre indique :

1. La valeur moyenne $U_0$ en mode DC
2. La valeur efficace $U_{eff}=\sqrt{U_0 ^2 +U^2/2}$ en mode AC+DC
3. La valeur $U/ \sqrt{2}$ en mode AC

Qu’est-ce qu’une analyse spectrale ?

D’après la théorie de Fourier, tout signal périodique de période $T$, peut se décomposer en une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de de $f=1/T$.

L’analyse spectrale est justement l’opération permettant de décomposer un signal en une série de Fourier.

Mathématiquement, on a :

$u(t)=C_0+\sum _n\left( C_n cos\left( 2\pi n f t + \phi _n \right) \right)$

Avec :

$C_0$ la composante continue du signal correspondant à la valeur moyenne du signal.

$C_1$ l’amplitude de la composante fondamentale de fréquence $f_1=f$ appelée la fréquence fondamentale.

$C_n$ l’amplitude de la composante harmonique de rang $n$ de fréquence $f_n=n\times f$ appelée la fréquence harmonique de rang $n$.

Graphiquement, l’analyse spectrale donne deux graphes :

1. Le spectre d’amplitude donnant $C_n$ en fonction de $f_n$.
2. Le spectre de phase donnant $\phi _n$ en fonction de $f_n$.

Comment prévoir l’effet d’un filtre linéaire sur un signal périodique ?

La fonction de transfert d’un filtre linéaire permet de trouver la tension de sortie $s$ connaissant la tension d’entrée $e$. La fonction de transfert est donnée par :

$\underline H = \frac {\underline s}{\underline e}$

La fonction de transfert peut être représentée par un diagramme de Bode qui se compose de deux tracés :

1. Le diagramme de Bode en Gain donnant $G_{dB}=20log(\lvert \underline H \rvert )$ en fonction de $log(\omega)$
2. Le diagramme de Bode en phase donnant $\phi = arg(\underline H)$ en fonction de $log(\omega)$