Théorème de l’énergie cinétique

Soit le système matériel $\rm S$ constitué de $n$ solides $\rm \left(S_{i}, i=1\right.$ à $\left.n\right)$ en mouvement par rapport à un repère $\rm R_{g}$.

$\rm \Sigma P\left(\bar{S} \rightarrow S / R_{g}\right)+ \Sigma P (\text{int à S}) = \dfrac{dT_{S / R_g}}{dt}$

$\rm\Sigma P\left(\bar{S} \rightarrow S / R_{g}\right)$ : la puissance des actions mécaniques extérieures à $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R_{g}$.
$\rm P (\text{int à S})$ : la somme des puissances des actions mécaniques intérieures à $\rm S$.
$\rm T_{S / R_{g}}$ : l’énergie cinétique du système $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R_{g}$.

Puissance d’une action mécanique extérieure à un solide

Puissance développée par l’action mécanique de $\Sigma$ sur $\rm S$, dans son mouvement par rapport à $\rm R_{g}$ :

$\rm P\left(\Sigma \rightarrow S / R_{g}\right) = \left\{T_{\Sigma \rightarrow S}\right\} \otimes\left\{V_{S / R_{g}}\right\}$

• Puissance est une grandeur instantanée.
• Puissance s’exprime en Watt $\rm (W)$.
• Notion de puissance n’a de sens que relativement à un repère : la puissance développée par l’action mécanique de $\Sigma$ sur $\rm S$, est nulle dans tout repère lié à $\rm S$.

Le torseur de l’action mécanique de $\Sigma$ sur $\rm S$ modélisée par une force en $\rm G$ est : $\rm P\left(\Sigma \rightarrow S / R_{g}\right) = \vec{R}_{\Sigma \rightarrow S} \cdot \vec{V}_{G \in S / R_{g}}$
Le torseur de l’action mécanique de $\Sigma$ sur $\rm S$ est un torseur couple : $\rm P\left(\Sigma \rightarrow S / R_{g}\right) = \vec{M}_{G}(\Sigma \rightarrow S) \cdot \overrightarrow{\Omega}_{S / R_g}$

Puissance développée par des actions mécaniques extérieures sur un système composé de plusieurs solides

Si $\rm S$, constitué de $n$ solides $\rm \displaystyle \left(S=\sum_{i=1}^{n} S_{i}\right)$, est sollicité par le système $\Sigma$, alors :

$\rm P\left(\Sigma \rightarrow S / R_{g}\right) = \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left\{\rm T_{\Sigma \Rightarrow S_{i}}\right\} \otimes\left\{V_{S_{i} / R_{g}}\right\}$

• Conseil : calculer séparément les puissances développées par chaque effort agissant sur chacun des solides.

Puissance développée par des actions mécaniques intérieures à $\bf\color{\burntorange}{S}$

• Puissance des actions de liaisons intérieures :
  Si $\rm S$ est constitué de deux solides $\rm S_{1}$ et $\rm S_{2}$.
  La puissance des actions intérieures à l’ensemble $\rm S$, est : $\rm P\left(S_{1} \leftrightarrow S_{2}\right)=\left\{T_{S_{1} \rightarrow S_{2}}\right\} \otimes\left\{V_{S_{2} / s_{1}}\right\}$
• Puissance des efforts intérieurs est indépendante du repère de référence.
• Puissance des efforts intérieurs est nulle si ces efforts sont ceux de liaisons parfaites.
• Puissance perdue dans un mécanisme lorsque le rendement $\eta$ du mécanisme $\rm \left(\eta=\frac{P_{S}}{P_{e}}\right)$ est donné :
  $\rm P_{i n t}=P_{e} \times (\eta -1)$