Torseur cinétique / Torseur dynamique

Soit un ensemble matériel $\rm S$ de masse $\rm m$, de centre d’inertie $\rm G$, en mouvement par rapport à un repère galiléen $\mathrm{R (O}, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$.

Torseur cinétique

Le torseur cinétique de l’ensemble matériel $\rm S$ dans son mouvement par rapport au repère $\rm R$ est, en un point $\rm A$ quelconque, le torseur suivant :

$\rm \left\{C_{S / R}\right\}=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\rm\int_{M \in S} \vec{V}_{M / R} \cdot dm\\ \displaystyle\rm \int_{M \in S} \overrightarrow{A M} \wedge \vec{V}_{M / R} \cdot dm\end{array}\right\}_{A}$ $\scriptstyle=~\left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \vec{V}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{\sigma}_{A(S / R)} = m \cdot \overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{V}_{A \in S / R} ~+~ \left[I_{A}(S)\right] \cdot \overrightarrow{\Omega_{s/ R}}\end{array}\right\}_{\rm A}$

$\rm \left[I_{A}(S)\right]$ : matrice d’inertie du solide $\rm S$ en $\rm A$
$\rm \overrightarrow{\Omega}_{S / R}$ : vecteur vitesse angulaire de $\rm S/R$
$\rm m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R}$ est la résultante cinétique de l’ensemble $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$.
$\rm\overrightarrow{\Gamma}_{A(S / R)}$ est le moment cinétique en $\rm A$ de l’ensemble $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$.

$\rm \overrightarrow{\sigma}_{B(S / R)} = \overrightarrow{\Gamma}_{A(S / R)} + \overrightarrow{B A} \wedge m \cdot \overrightarrow{V}_{GS / R}$

Cas particulier 1 :

Expression du torseur cinétique en $\rm G$, centre d’inertie de $\rm S$ :

$\rm \left\{C_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{\sigma}_{G(S / R)} = \left[I_{G}(S)\right] \cdot \overrightarrow{\Omega}_{s / R}\end{array}\right\}_{G}$

Cas particulier 2 :

Expression du torseur cinétique en $\rm O$, point fixe du mouvement de $\rm S/R$ :

$\rm \left\{C_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{\sigma}_{O(S / R)} = \left[I_{o}(S)\right] \cdot \overrightarrow{\Omega}{_{S / R}}\end{array}\right\}_{0}$

Cas particulier 3 :

$\rm S$ est une masse ponctuelle, concentrée au point $\rm G$ :

$\rm \left\{C_{s / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{0}\end{array}\right\}_{G}$

Cas particulier 4 :

Le mouvement de $\rm S/R$ est un mouvement de translation :

$\rm \left\{C_{s / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}_{G}$

Si $\rm S=\sum_{i} S_{i}$ alors $\rm \left\{C_{s / R}\right\}=\sum_{i}\left\{C_{s_{i} / R}\right\}$

Le torseur dynamique de l’ensemble matériel $\rm S$ dans son mouvement par rapport au repère $\rm R$ est, en un point $\rm A$ quelconque, le torseur suivant :

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm \displaystyle \int_{M \in S} \overrightarrow{\Gamma}_{M / R} \cdot dm\\ \rm \displaystyle \int_{M \in S} \overrightarrow{A M} \wedge \overrightarrow{\Gamma}_{M / R} \cdot d m\end{array}\right\}_{A}$ $\rm\scriptstyle =\left\{\begin{array}{cc}\rm m\cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{\delta}_{A(S / R)} ~=~ \left[\frac{d \overrightarrow{\sigma}_{A(S / R)}}{dt}\right]_{R} ~+~ \left[\frac{d \overrightarrow{O A}}{d t}\right]_{R} \wedge m \cdot \overrightarrow{V}_{G \in S / R}\end{array}\right\}_A$

$\rm m\cdot\overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}$ est la résultante dynamique de l’ensemble $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$.
$\rm \overrightarrow{\delta}_{A(S / R)}$ est le moment dynamique en $\rm A$ de l’ensemble $\rm S$ dans son mouvement par rapport à $\rm R$.

$\rm \overrightarrow{\delta}_{B(S / R)} = \overrightarrow{\delta}_{A(S / R)}+\overrightarrow{B A} \wedge m \cdot\overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}$

Cas particulier 1 :

Expression du torseur dynamique en $\rm G$, centre d’inertie de $\rm S$.

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \rm \overrightarrow{\delta}_{G(S / R)}=\left.\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{G(S / R)}}{d t}\right|_{R}\end{array}\right\}_G$

Cas particulier 2 :
Expression du torseur dynamique en $\rm O$, point fixe du mouvement de $\rm S/R$ :

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m\cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R} \\ \rm \overrightarrow{\sigma}_O(S / R) = \left. \dfrac{d\overrightarrow{\sigma}_{O(S / R)}}{d t}\right|_{R}\end{array}\right\}_O$

Cas particulier 3 :

$\rm S$ est une masse ponctuelle, concentrée au point $\rm G$ :

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc}\rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}_{G}$

Cas particulier 4 :

Le mouvement de $\rm S/R$ est un mouvement de translation.

$\rm \left\{D_{S / R}\right\} = \left\{\begin{array}{cc} \rm m \cdot \overrightarrow{\Gamma}_{G \in S / R}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}_{G}$

Si $\rm S=\sum_{i} S_{i}$ alors $\rm \left\{D_{S / R}\right\}=\sum_{i}\left\{D_{S_{i} / R}\right\}$