Bases orthonormées et projection orthogonale

Soit $\rm E$ un espace euclidien.

Définition :

• Une base orthogonale de $\rm E$ est une famille orthogonale qui en est une base.
• Une base orthonormale ou orthonormée de $\rm E$ est une famille orthonormale ou orthonormée qui en est une base.

Théorème :

Soit $(\mathrm e_i)_{i=1\ldots n}$ une base orthonormée de $\rm E$ et soit $x\in \rm E$.

• $x=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|\mathrm e_k)e_k$
• $\|x\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|\mathrm e_k)^2$

Le réel $(x|\mathrm e_k)$ est la coordonnée de $x$ par rapport à $\mathrm e_k$ dans la base $(\mathrm e_1,\ldots,\mathrm e_n)$.

Théorème :

Soit $(\mathrm e_i)_{i=1\ldots n}$ une base orthonormée de $\rm E$. Si $x=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k} \mathrm e_k$ et $y=\displaystyle\sum_{k=1}^n y_{k} \mathrm e_k$, le produit scalaire se calcule avec la formule :

$(x|y)=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{\rm k} y_{k}$

Théorème :
Soit $\rm F$ un sous-espace vectoriel de $\rm E$.
$\mathrm{F^{\bot}}=\{x\in \mathrm E/\text{pour tout } y \in \mathrm F, (y|x)=0\}$ est le supplémentaire orthogonal de $\mathrm{F}$:

• $\mathrm{F+F^{\bot}=E}$
• $\mathrm{F\cap F^{\bot}=\{0_E\}}$
• Pour tout $(x, y)\in \mathrm F\times \mathrm F^{\bot}, (x|y)=0$
• $\rm \dim (F^{\bot})=\dim(E)-\dim(F)$

Soit $\rm E$ un espace préhilbertien réel de produit scalaire $(\cdot|\cdot)$.

Soit $\rm F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien $\rm E$. On a : $\rm E=F\bigoplus F^{\bot}$.

Pour étudier une projection orthogonale, on peut:

• Utiliser la définition :
  Soit $x\in \rm E$ tel que $x=y+z$ dans la somme $\rm F\bigoplus F^{\bot}$.
  Alors $y$ est le projeté orthogonal (ou projection) de $x$ sur $\rm F$ parallèlement à son supplémentaire orthogonal et est noté $\mathrm{p_F}(x)$.

• Utiliser l’expression dans une base orthonormale :
  Soit $\rm (e_0,\ldots,e_n)$ base orthonormale du sous-espace vectoriel $\rm F$.
• Pour tout $x\in \rm E$, $\mathrm{p_F}(x)=\displaystyle\mathrm{\sum_{k=0}^{n}(e_k}|x)\rm e_k$.
• Utiliser le lien avec la distance.

Théorème et définition :

Pour tous $x\in \rm E$ et $y\in \rm F$, $||x-y||\geq ||x-\mathrm{p_F}(x)||$ avec égalité si et seulement si $y=\mathrm{p_F}(x)$.
$\mathrm d(x,\mathrm F)=||x-\mathrm{p_F}(x)||=\inf_{y\in \mathrm F}||x-y||$ est la distance de $x$ à $\rm F$.

Théorème : $\mathrm d(x,\mathrm F)=\sqrt{||x||^2-||\mathrm{p_F}(x)||^2}$.