Cinématique du solide

On considère un solide indéformable $\rm S$ en mouvement par rapport à un repère fixe $\mathcal{R}=(\mathrm O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z})$. On associe à ce solide un repère $\mathcal{R}_{\rm S}=(\mathrm O_{S},\overrightarrow{x_{S}},\overrightarrow{y_{S}},\overrightarrow{z_{S}})$ avec $A$ appartenant à $\rm S$.

On note $\rm \overrightarrow{\Omega_{S/ \mathcal{R}}}$ le vecteur instantané de rotation du solide $\rm S$ par rapport au repère $\mathcal{R}$. On introduit aussi $2$ point $\rm A$ et $\rm B$.

L'objectif est de calculer le vecteur $\rm \overrightarrow{V_{A,S/\mathcal{R}}}=\left.\dfrac{d\overrightarrow{OA}}{dt}\right|_{\mathcal{R}}$.

Pour cela, plusieurs méthodes sont possibles :

Méthode 1 : Exprimer le vecteur position $\rm \overrightarrow{OA}$ où $\rm O$ est un point fixe dans $\mathcal{R}$ puis effectuer la dérivée temporelle $\rm \overrightarrow{V_{A,S/\mathcal{R}}}=\left.\dfrac{d\overrightarrow{OA}}{dt}\right|_{\mathcal{R}}$. Si $\rm A$ est fixe dans $\rm \mathcal{R}_{S}$ on peut aussi utiliser la formule de Bour :

$\rm \left.\dfrac{d\overrightarrow{OA}}{dt}\right|_{\mathcal{R}_{S}} = \overrightarrow{0} = \left.\dfrac{d\overrightarrow{OA}}{dt}\right|_{\mathcal{R}} + \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{\Omega_{S/\mathcal{R}}}$

Méthode 2 : Si la vitesse $\rm \overrightarrow{V_{B,S/\mathcal{R}}}$ est connue il est possible d'utiliser la formule de Varignon, aussi appelée formule de changement de point :

$\rm \overrightarrow{V_{A,S/\mathcal{R}}} = \overrightarrow{V_{B,S/\mathcal{R}}} + \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{\Omega_{S/\mathcal{R}}}$.

Méthode 3 : Si le problème fait intervenir un troisième repère $\mathcal{R}_{2}$ et que les vitesses $\rm \overrightarrow{V_{A,S/ \mathcal{R}_{2}}}$ et $\rm \overrightarrow{V_{A, \mathcal{R}_{2}/\mathcal{R}}}$ sont connues, on peut utiliser la formule de composition des vitesses :

$\rm \overrightarrow{V_{A,S/\mathcal{R}}} = \overrightarrow{V_{A,S/\mathcal{R}_{2}}} + \overrightarrow{V_{A,\mathcal{R}_{2}/\mathcal{R}}}$

Il n'existe pas d'outil unique pour calculer la vitesse en un point, il faut donc en fonction du problème trouver la méthode la plus maline qui minimise le plus possible les calculs et donc le risque d'erreur !

On considère un solide indéformable $\rm S$ en mouvement par rapport à un repère fixe $\mathcal{R}=(\mathrm O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z})$. On associe à ce solide un repère $\mathcal{R}_{\rm S}=(\mathrm A,\overrightarrow{x_{\rm S}}, \overrightarrow{y_{\rm S}}, \overrightarrow{z_{\rm S}})$ avec $\rm A$ appartenant à $\rm S$.

On souhaite calculer le vecteur accélération au point $\rm G$ du solide $\rm S$ par rapport au repère $\mathcal{R}$ : $\rm \overrightarrow{\Gamma_{G,S/\mathcal{R}}}$. Il est important de savoir calculer un vecteur accélération car ce sera un vecteur très utilisé en dynamique du solide qui sera un chapitre important de deuxième année de prépa.

La grande idée à retenir est que le champ de vecteurs accélération n'est pas équiprojectif ! La formule de Varignon est donc inutilisable ici. Seule la dérivation vectorielle permet de calculer un vecteur accélération. Les étapes du calcul sont donc :

Étape 1 : Calculer le vecteur $\rm \overrightarrow{OG}$ qui correspond aux coordonnées du point $G$ dans le repère $\mathcal{R}$ qui est celui dans lequel on veut exprimer l'accélération. Le point $\rm O$ doit être fixe dans $\mathcal{R}$, c'est le cas ici.

Étape 2 : Calculer $\rm \overrightarrow{V_{G,S/\mathcal{R}}} = \left.\dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}\right|_{\mathcal{R}}$

Étape 3 : Calculer $\rm \overrightarrow{\Gamma_{G,S/\mathcal{R}}} = \left.\dfrac{d\overrightarrow{V_{G, S/\mathcal{R}}}}{dt}\right|_{\mathcal{R}}$

Remarque : Il n'est pas obligatoire de calculer le vecteur $\rm \overrightarrow{OG}$ et de calculer $\rm \overrightarrow{V_{G, S/\mathcal{R}}}$ par dérivation vectorielle, il est possible d'utiliser les autres méthodes de calcul de vitesse. Par contre il n'y a pas le choix pour le calcul de l'accélération !

La loi d’entrée-sortie en position (géométrique) d’un mécanisme correspond à l’expression de son paramètre de sortie en fonction de son paramètre d’entrée (un mécanisme peut comporter plusieurs entrées et plusieurs sorties, et présente alors plusieurs lois d’E.-S.). L’entrée et la sortie sont variables en fonction du temps, l’entrée permettant d’enclencher le mécanisme, tandis que la sortie correspond à l’activité (mise en position ou mouvement) utile à la réalisation de sa fonction.

Dans le cas des chaînes cinématiques fermées couramment rencontrées dans les systèmes de transmission de puissance, cette loi est établie au moyen de la procédure décrite ci-dessous.

1) Analyser le mécanisme :

$\rightarrow$ Identifier les différentes liaisons et les mobilités autorisées par celles-ci,

$\rightarrow$ Prendre connaissance du paramétrage du mécanisme (variables et constantes représentant les longueurs et angles caractérisant les pièces et leur orientation) et y identifier l’entrée et la sortie,

$\rightarrow$ Construire les figures de changement de base du mécanisme si celles-ci ne sont pas déjà présentes.

2) Écrire la fermeture géométrique vectorielle du mécanisme à l’aide d’une relation de Chasles.

3) Projeter la fermeture géométrique sur les axes d’une des bases afin d’obtenir un système d’équations scalaires. Le choix de la base de vecteurs dans laquelle effectuer cette projection doit être « judicieux » en vue d’atteindre la loi d’entrée-sortie :

$\rightarrow$ Choisir une base dans laquelle beaucoup de composantes sont exprimées permet d’éviter d’alourdir les équations avec des termes supplémentaires,

$\rightarrow$ En cas de paramètre angulaire intermédiaire : Faire apparaître les sinus et cosinus de ce paramètre lors de la projection en vue de l’éliminer par combinaison des équations à l’aide de la formule $\rm \displaystyle cos^{2}(\theta) + sin^{2}(\theta) = 1$,

$\rightarrow$ En présence de plusieurs paramètres angulaires intermédiaires : l’établissement d’une fermeture angulaire permet d’éliminer une variable angulaire intermédiaire en l’exprimant en fonction des autres paramètres angulaires du problème,

$\rightarrow$ En l’absence de paramètre intermédiaire : Projeter dans la base dans laquelle le terme contenant le paramètre de sortie est exprimé afin de maintenir celui-ci isolé.

4) Établir la loi d’entrée-sortie en position en exprimant le paramètre de sortie en fonction de celui d’entrée. La loi pourra être, à l’inverse, exprimée sous la forme $\rm \displaystyle Entrée = f(Sortie)$ dans le cas où l’objectif serait la détermination de la commande d’un actionneur dans le but de faire atteindre à la sortie une valeur spécifiée.

Cette dernière étape a pour objectif d’obtenir une expression de type $\rm \displaystyle Sortie = f(Entrée)$.

$\rightarrow$ Lorsque l’expression du paramètre de sortie comporte une racine carrée (cas fréquent lorsqu’il s’agit d’une longueur), il ne faut pas oublier de préciser que ce résultat n’est valable que lorsque le terme situé sous la racine est positif,

$\rightarrow$ Lorsque le paramètre de sortie est un angle, son expression comportera une fonction $\arccos()$, $\arcsin()$ ou $\arctan()$ : il conviendra alors de préciser le domaine de validité correspondant.

$\rightarrow$ Lorsque le paramètre de sortie est un angle et le paramètre d’entrée une longueur et que le mécanisme fait apparaître un paramètre angulaire intermédiaire, l’élimination de ce dernier engendre une équation dans laquelle l’angle de sortie $\delta$ est contenu dans un terme de la forme $k . (m.\cos\delta + n.\sin\delta)$. Poser des variables $\rm V$ et $\rm W$ telles que $m = \rm V.\cos W$ et $n = \rm V.\sin W$ permet d’obtenir la loi d’entrée-sortie, avec $\mathrm V = \sqrt{m^2 + n^2}$ et $\mathrm W = \arctan\left(\dfrac{n}{m}\right)$, en respectant les domaines de définition de ces fonctions trigonométriques réciproques.

À partir d’une loi d’entrée-sortie en position, il est possible d’en déduire la loi d’entrée-sortie en vitesse (cinématique) correspondante en dérivant l’expression du paramètre géométrique de sortie.