Convexité

Soit $f : \rm I \to \mathbb R$

$f$ est convexe si elle vérifie :

Pour tous $\rm a,b\in I$, pour tout $\lambda \in [0 ~;1]$, $f((1\mathrm{-\lambda)a+\lambda b)} \leq (1-\lambda)f(\mathrm a)+\lambda f(\mathrm b)$.

$f$ est concave si elle vérifie :

Pour tous $\rm a, b\in I$, pour tout $\lambda \in [0~ ;1]$, $f((1-\lambda)\mathrm{a+\lambda b)} \geq (1-\lambda)f(\mathrm a)+\lambda f(\mathrm b)$.

Inégalité de Jensen : si $f$ est une fonction convexe sur un intervalle $\rm I$, quels que soient les réels positifs $\lambda_1, \ldots,\lambda_n$ de somme 1 et quels que soient les éléments $x_1,\ldots,x_n$ de $\rm I$, alors :

$f\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_if( x_i)$

Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable.

Il y a équivalence entre :

• $f$ est convexe
• $f’$ est croissante
• $f’’>0$ (si $f$ est deux fois dérivable).

Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable.

Si $f$ est convexe, alors son graphe est au-dessus de chacune de ses tangentes.