C.L. = combinaison linéaire
a) Famille liée
Soit $\rm {\mathcal F}=(u_1,\ldots,u_n)$ une famille de vecteurs de $\rm E$.
La famille $\mathcal F$ est liée dans $\rm E$ (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement dépendants dans $\rm E$ s'il existe $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in {\Bbb K}^n\backslash\{(0,\ldots,0)\}$ tel que $\lambda_1\cdot u_1 + \ldots + \lambda_n.u_n = \rm 0_E$.
$(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in {\Bbb K}^n\backslash\{(0,\ldots,0)\}$ signifie qu' il existe au moins un indice $\rm i \in \{1,\ldots,n\}$ tel que $\lambda_i \neq 0$.
Exemple : On considère dans $\rm E={\Bbb R}^3$ les vecteurs $u_1=(1,0,-1)$, $u_2=(1,-2,3)$ et $u_3=(1,2,-5)$.
La famille $(u_1,u_2,u_3)$ est liée dans ${\Bbb R}^3$ car on observe que $2u_1-u_2-u_3=0_{{\Bbb K}^3}$.
Théorème : une famille est liée si et seulement si l'un des vecteurs s'exprime comme une $\rm C.L$ des autres.
b) Famille libre
Définition : Soit ${\mathcal F} =(u_1,\ldots,u_n)$ une famille de vecteurs de $\rm E$.
${\mathcal F}$ est libre dans $\rm E$ si la famille n'est pas liée.
Cela revient à dire, ${\mathcal F}$ est libre dans $\rm E$ (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement indépendants dans $\rm E$) si $\forall (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in {\Bbb K}^n$ : $\lambda_1 \cdot u_1 + \ldots + \lambda_n \cdot u_n = \rm 0_E$ $\Longrightarrow$ $(\lambda_1 =0, \lambda_2 =0, \ldots, \lambda_n = 0)$.
Exemple :
On considère $\rm E={\Bbb R}^3$ muni de sa structure canonique d'$\rm ev$.
Soient $u_1=(2,1,5)$, $u_2=(-1,1,-1)$ et $u_3=(1,1,3)$.
Soient $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in {\Bbb R}^3$ tel que $\lambda_1\cdot u_1 + \lambda_2\cdot u_2 + \lambda_3\cdot u_3 = \rm 0_E$.
On obtient le système :
$\left\{\begin{array}{rrrrrrr}
2\cdot \lambda_1 & - & \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\
\lambda_1 & + & \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\
5\cdot \lambda_1 & - & \lambda_2 & + & 3\cdot \lambda_3 & = & 0
\end{array}\right.$.
On utilise la méthode du pivot de Gauss.
$\left(\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
5 & -1 & 3
\end{array}\right)$.
On effectue les opérations suivantes :
$\displaystyle \rm L_2 \leftarrow L_2 - \frac{1}{2}L1$ et $\displaystyle \rm L_3 \leftarrow L_3 - \frac{5}{2}L1$.
$\left(\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
& & \\
0 & \displaystyle \frac{3}{2} & \displaystyle \frac{1}{2} \\
& & \\
0 & \displaystyle \frac{3}{2} & \displaystyle \frac{1}{2}
\end{array}\right)$.
On revient au système :
$\left\{\begin{array}{lllll}
2\cdot \lambda_1 & - & \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\
& & 3\cdot \lambda_2 & + & \lambda_3 & = & 0\\
\end{array}\right.$.
On peut exprimer les solutions en fonction de $\lambda_2$ par exemple.
$\lambda_3 = -3\cdot \lambda_2$ et $2\cdot \lambda_1 = \lambda_2 - \lambda_3 =
4\cdot \lambda_2$. Donc $\lambda_1 = 2\cdot \lambda_2$.
Les solutions du système sont$\left\{(2\cdot \lambda_2,\lambda_2,-3\cdot \lambda_2) \mid \lambda_2 \in {\Bbb R}\right\} = {\rm vect}((2,1,-3))$.
En choisissant par exemple $\lambda_2 = 1$, on obtient la solution $(2,1,-3)$.
Cela signifie qu'on a la relation linéaire: $2\cdot u_1 + u_2 -3\cdot u_3 = 0_E$
Donc la famille est liée.
À retenir :
Montrer que la famille ${\mathcal F} = \left(u_i\right)_{1\leq i \leq n}$ est libre est équivalent à montrer que le système linéaire $\lambda_1\cdot u_1 + \ldots + \lambda_n\cdot u_n = \rm 0_E$ d'inconnues $\lambda_i$ n'admet que la solution nulle comme solution.
Attention : $n$ vecteurs libres ne signifient pas $2$ à $2$ non colinéaires.
Exemple : $a=(1,0)$, $b=(0,1)$ et $c=a+b=(1,1)$ dans ${\Bbb R}^2$. Les vecteurs $a$, $b$ et $c$ sont deux à deux non colinéaires mais pourtant la famille $(a,b,c)$ est liée.
c) Famille génératrice
Soit la famille ${\mathcal F}=(u_1,\ldots,u_n)$ de vecteurs de l'espace vectoriel $\rm E$.
La famille ${\mathcal F}$ est une famille génératrice de $\rm E$ si $\rm vect({\mathcal F})=E$.
On dit dans ce cas que la famille ${\mathcal F}$ engendre $\rm E$.
Comme on a toujours $\rm vect({\mathcal F}) \subset E$, on a la définition équivalente suivante :
Définition équivalente :
La famille ${\mathcal F}$ est une famille génératrice de $\rm E$ si pour tout vecteur $\rm u$ de $\rm E$ il existe $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in {\Bbb K}^n$ tels que $u = \lambda_1\cdot u_1 + \ldots + \lambda_n\cdot u_n$.
d) Base
Définition d'une base : une base d'un $\rm ev$ ou un $\rm sev$ est une famille qui est à la fois libre et génératrice.
Théorème : caractérisation d'une base.
${\mathcal B}=(u_1, \ldots, u_n)$ est une base de $\rm E \iff$ pour tout vecteur $u$ de $\rm E$ il existe un unique $n$-uplet $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ de ${\Bbb K}^n$ tel que $u = \lambda_1\cdot u_1 + \ldots + \lambda_n\cdot u_n$.
Le $n$-uplet $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ s'appelle les coordonnées du vecteur $u$ dans la base ${\mathcal B}$.
