Étude de fonctions réelles

Généralités

L’ensemble de définition $\mathscr D_f$ d’une fonction $f$ est l’ensemble de tous les réels $x$ pour lesquels $f(x)$ est calculable.

Parité

• $f$ est paire si, pour tout $x\in \mathscr D_f$, $-x\in \mathscr D_f$ et $f(-x)=f(x)$.
  La courbe représentant $f$ est alors symétrique par rapport à l’axe $(\mathrm O,j)$.
  Exemple : $f(x)=x^2$.
• $f$ est impaire si, pour tout $x\in \mathscr D_f$, $-x\in \mathscr D_f$ et $f(-x)= -f(x)$.
  La courbe représentant $f$ est alors symétrique par rapport à $\mathrm O$.
  Exemple : $f(x)=x^3$.

Limites

La notation $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ signifie que $f$ admet $a$ pour limite en $x_0$.

Remarque :

$a$ peut désigner un nombre, ou $+\infty$ ou $-\infty$.

Continuité

Définitions :

• Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
• $f$ est continue sur un intervalle $\mathrm I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $\rm I$.

Dérivation

Définition :

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ contenant $x_0$. $f$ est dérivable en $x_0$ si $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est finie. 

On a alors $f’(x_0)=\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

Remarque :

Une fonction dérivable en $x_0$ est continue en $x_0$.

Définitions :

• $f$ admet un extremum (maximum ou minimum) local en $x_0$ si et seulement si $f’$ s’annule et change de signe en $x_0$. Il y a donc une tangente horizontale en $x_0$.
• Si $f’(x)\geq 0$ pour tout $x\in\rm I$, alors $f$ est croissante sur $\rm I$.
• Si $f’(x)\leq 0$ pour tout $x\in \rm I$, alors $f$ est décroissante sur $\rm I$.

Fonction valeur absolue : définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R^+$, $f(x)=|x|$.

• Si $x$ est positif, $f(x)=x$.
• Si $x$ est négatif, $f(x)=-x$.

Fonction exponentielle : définie sur $\mathbb R$, $\exp’(x)=\exp(x)=\mathrm e^x$

Propriétés : 

• Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm e^a\mathrm e^b=\mathrm e^{a+b}$
• Pour tout réel $a$, $\displaystyle \mathrm e^{-a}=\frac{1}{\mathrm e^a}$
• Pour tout réel $a$, $\mathrm e^a>0$ 
• $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$
• La dérivée de $\mathrm e^{u(x)}$ (si $u$ est dérivable) est égale à $u’(x)\mathrm e^{u(x)}$
• $e^x\geq 1+x$

Fonction logarithme népérien : définie sur $]0~ ;+\infty[$, $\ln’(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.

Propriétés :

• Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln \left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$ 
• Pour tout $x\in ]0~ ;+\infty[$, $\mathrm e^{\ln(x)}=x$ et pour tout $x\in\mathbb R$, $\ln(\mathrm e^x)=x$.
• $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$
• La dérivée de $\ln(u(x))$ (si $u$ est strictement positive et dérivable) est égale à $\displaystyle\frac{u’(x)}{u(x)}$
• $\ln(1+x)\leq x$

Croissances comparées : Pour les calculs de limites, en cas de formes indéterminées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance et toute puissance l’emporte sur le logarithme népérien.

Fonction Arcsinus : définie sur $[-1 ;1]$ à valeurs dans $[-\pi/2~ ;\pi/2]$.

Propriétés :

• La fonction Arcsinus est la bijection réciproque de la fonction sinus restreinte à l’intervalle $[-\pi/2~ ;\pi/2]$.
• Sur $]-1~ ;1[$, $\mbox{arcsin}’(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• La fonction Arcsinus est impaire et croissante.

Fonction Arccosinus : définie sur $[-1 ;1]$ à valeurs dans $[0~ ;\pi]$.

Propriétés :

• La fonction Arccosinus est la bijection réciproque de la fonction cosinus restreinte à l’intervalle $[0~ ; \pi]$.
• Sur $]-1 ~;1[$, $\mbox{arccos}’(x)=\displaystyle\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
• La fonction Arccosinus est décroissante.

Fonction Arctangente : définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $]-\pi/2~ ;\pi/2[$.

Propriétés :

• La fonction Arctangente est la bijection réciproque de la fonction tangente restreinte à l’intervalle $]-\pi/2~ ;\pi/2[$.
• Sur $\mathbb R$, $\mbox{arctan}’(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$
• La fonction Arctangente est impaire et croissante.

Fonctions hyperboliques : elles sont définies sur $\mathbb R$.
$ch(x)=\displaystyle\frac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}{2}$
$sh(x)=\displaystyle\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{2}$
$th(x)=\dfrac{sh (x)}{ch (x)}$

Dérivées : Pour tout $x\in\mathbb R$,
$ch’(x)=sh(x)$
$sh’(x)=ch(x)$
$th’(x)=1-th^2(x)=\dfrac{1}{ch^2(x)}$

Propriété : Pour tout $x\in\mathbb R$,
$ch^2(x)-sh^2(x)=1$