Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples

On considère que $\mathbb K$ représente $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Définition : Une fraction rationnelle $\rm F$ sur $\mathbb K$ est de la forme $\rm F(X) =\dfrac{P(X)}{Q(X)}$ où $\rm P$ et $\rm Q$ sont deux polynômes de $\rm \mathbb K[X]$ et $\rm Q$ non nul.

On note $\rm \mathbb K(X)$ l’ensemble des fractions rationnelles.

Définition : $\rm (\mathbb K(X), +,\times)$ est un corps.

Définition : Soit $\rm F$ une fraction rationnelle de la forme $\rm \dfrac{P}{Q}$. On appelle degré de $\rm F$ la valeur $\rm deg(F)=deg(P)-deg(Q)$.

Définition : Soit $\rm F$ une fraction rationnelle de la forme $\rm \dfrac{P}{Q}$. Si $\rm P\wedge Q=1$, on dit que $\rm F$ est sous forme irréductible.

Définition : Soit $\rm F$ une fraction rationnelle de la forme irréductible $\rm \dfrac{P}{Q}$.

Les racines de $\rm P$ sont les zéros de $\rm F$.

Les racines de $\rm Q$ sont les pôles de $\rm F$.

Définition : Un pôle (respectivement un zéro) de la fraction $\rm F=\dfrac{P}{Q}$ est de multiplicité $k\in\mathbb N$, lorsque il s’agit d’une racine de multiplicité $k$ du polynôme $\rm Q$ (respectivement du polynôme $\rm P$).

Définition : Un élément simple est une fraction rationnelle de la forme $\dfrac{\rm P}{\mathrm Q^k}$, où $\rm Q$ est un polynôme unitaire irréductible de $\rm \mathbb K[X]$, $k\geq 1$ et $\rm deg(P)< deg(Q)$.

Par exemple sur $\mathbb C$, un élément simple est de la forme $\dfrac{a}{(\mathrm X−\alpha)^k}$, où $a$ et $\alpha$ sont dans $\mathbb C$ et $k\in\mathbb N^*$.

Théorème : Tout élément de $\rm \mathbb C(X)$ admet une unique décomposition en éléments simples.

Soit $\rm F=\dfrac{P}{Q}$ une fraction rationnelle sous forme irréductible dans $\rm \mathbb C(X)$ avec $\mathrm{Q(X)} = (\mathrm X−\alpha_1)^{n_1}\ldots (\mathrm X−\alpha_k)^{n_k}$.

On peut décomposer $\rm F$ sous la forme :

$\mathrm{F(X)} = \mathrm{E(X)} + \displaystyle\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_k}\frac{a_{i,j}}{(\mathrm X-\alpha_i)^j}$

Où $\rm E$ est un polynôme, appelé partie entière et les $a_{i,j}$ sont des nombres complexes.

La partie entière $\rm E$ s'obtient comme quotient de la division euclidienne de $\rm P$ par $\rm Q$.

En pratique : Si $\alpha_i$ est un pôle simple, pour obtenir la valeur de $a_{i,i}$, on peut considérer $(\mathrm X-\alpha_i) \rm F(X)$ et regarder sa valeur en $\alpha_{i}$.

Remarque : La décomposition en éléments simples sert en particulier dans le calcul de primitives.

Théorème : Tout élément de $\rm \mathbb R(X)$ admet une unique décomposition en éléments simples.

Soit $\rm F=\dfrac{P}{Q}$ une fraction rationnelle sous forme irréductible dans $\rm \mathbb R(X)$ avec $\mathrm{Q(X)} = (\mathrm{Q_1(X)})^{n_1}\ldots(\mathrm Q_k(\mathrm X))^{n_k}$.

On peut décomposer $\rm F$ sous la forme :

$\mathrm{F(X) =E(X)} + \displaystyle \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_k}\dfrac{\mathrm P_{i,j}(\mathrm X)}{(\mathrm Q_i(\mathrm X))^j}$

Où $\rm E$ est un polynôme, appelé partie entière et $\mathrm{deg(P}_{i,j}) < \mathrm{deg(Q}_i)$.