Généralités sur les suites
$(u_n)$ ou $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ désigne une suite, c’est-à-dire une application de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$ (pour une suite réelle).
$u_n$ désigne un terme de la suite, c’est donc un nombre.
On utilise les abréviations suivantes :
CV = converge ou convergente ou convergence
DV = diverge ou divergente divergence
APCR = à partir d'un certain rang
Une suite $(u_n)$ est majorée si et seulement s’il existe $\rm M\in\mathbb R$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\leq \rm M$.
Une suite $(u_n)$ est minorée si et seulement s’il existe $m\in\mathbb R$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$, $m\leq u_n$.
Une suite $(u_n)$ est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée si et seulement si $(|u_n|)$ est majorée.
Une suite $(u_n)$ est croissante si et seulement si pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n \leq u_{n+1}$.
Une suite $(u_n)$ est décroissante si et seulement si pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}\leq u_{n}$.
Une suite $(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Une suite $(u_n)$ est stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang.
Définition : On dit qu’une suite $(u_n)$ converge vers un réel $l\in\mathbb R$ si pour tout $\epsilon>0$, il existe $n_0\in\mathbb N$, tel que pour tout $n\geq n_0$, $|u_n-l|\leq \epsilon$.
Remarque : S’il n’existe pas de réel $l$ vérifiant cette propriété, on dit que la suite $(u_n)$ diverge : soit la suite n’admet pas de limite, soit la suite tend vers l’infini.
Théorème : La limite d’une suite convergente est unique.
Théorème : Toute suite convergente est bornée.
Théorèmes de l’encadrement :
Théorème de la limite monotone :
Remarque : ce théorème ne permet pas de déterminer la limite de en cas de $\rm CV$.
Théorème de passage à la limite :
Si $\forall n \in {\Bbb N}, u_n \ge 0$ et si la suite $(u_n)$ CV alors $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty} u_n \ge 0}$.
Remarque : le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes. Par exemple, $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}^*, \frac{1}{n} >0}$ mais $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} = 0}$ n'est pas strictement positive !
Définition :
Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :
a) $(u_n)$ est croissante
b) $(v_n)$ est décroissante
c) $(v_n - u_n)$ converge vers $0$
Théorème : Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.
Définition : Une suite extraite de la suite $(u_n)$ est une suite $(x_n) = (u_{\varphi(n)})$ où $\varphi$ est une application strictement croissante de ${\Bbb N}$ dans ${\Bbb N}$.
Les suites extraites sont utilisées pour montrer la DV d'une suite. On se base sur le théorème suivant :
Exemple : $(u_n) = ((-1)^n)$ diverge car la sous-suite $(u_{2n}) = (1)$ CV vers $1$ et la sous-suite $(u_{2n+1}) = (-1)$ CV vers $-1$. Si $(u_n)$ convergeait alors les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ devraient converger vers la même limite ce qui n'est pas le cas.
Théorème : si la sous-suite paire $(u_{2n})$ et la sous-suite impaire $(u_{2n+1})$ converge vers la même limite alors la suite $(u_n)$ converge vers cette limite.
Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.
Définitions : Une suite complexe $(u_n)$ est de la forme $x_n+iy_n$ où $(x_n)$ et $(y_n)$ sont des suites à valeurs réelles.
Une suite complexe $(u_n)$ est bornée si et seulement si $(|u_n|)$ est majorée.
Théorème : Une suite complexe converge si et seulement ses suites parties réelle et imaginaire convergent.
Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite complexe bornée, on peut extraire une suite convergente.
