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Limites et continuité

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Méthode 1 : Étudier la limite de fonctions réelles

On considère une fonction f définie sur un intervalle I.

La notation lim signifie que admet pour limite en .

Remarque :

peut désigner un nombre, ou ou .

La notation (respectivement ) signifie que tend vers par valeurs supérieures (respectivement inférieures). 

Ainsi, on définit et respectivement que l’on appelle limite à droite (respectivement à gauche) en .

Propriétés :

Une fonction admet une limite en , si et seulement si, elle admet pour limite à droite et à gauche de .

Si alors n’a pas de limite en .

Exemple :

n’a pas de limite en .

Propriété : Si possède une limite finie en , est bornée au voisinage de .

Théorème : Caractérisation séquentielle de la limite

admet pour limite en si et seulement si pour toute suite de points de qui tend vers , la suite tend vers .

Théorème de la limite monotone : Soit fonction croissante sur .

Les limites de à droite en et à gauche en existent et vérifient :

Règles de domination :

  • Au voisinage de l’infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.
    Exemple :
  • Au voisinage de l'infini, le quotient de deux polynômes (fraction rationnelle) se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.
    Exemple :

Asymptotes :

Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers .

Une fonction admet :

  • une asymptote verticale d’équation lorsque ;
  • une asymptote horizontale d’équation lorsque .

Méthode 2 : Étudier la continuité de fonctions réelles

On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $\rm I$.

Continuité en un point :

La fonction est continue au point $x_0 \in\rm I$ si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)}$.

(Cela demande donc déjà que la limite existe.)

Remarque : la continuité de $f$ en $x_0$ présuppose implicitement que $f$ est déjà définie en $x_0$. Si $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais que la limite $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)}$ existe, on dit alors que $f$ est prolongeable par continuité en $x_0$.

Par exemple, la fonction $\displaystyle{f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)}$ est définie seulement sur ${\Bbb R}^*$. Elle n'est pas définie en $0$. Cependant $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f(x) = 0}$ donc $f$ est prolongeable par continuité en $0$ en posant $f(0)=0$. La nouvelle fonction - qu'on appelle encore $f$ - définie par $f(0)=0$ et $\displaystyle f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ pour $x \neq 0$ est à présent continue sur tout ${\Bbb R}$.

Caractérisation séquentielle de la continuité :

$f$ continue en $x_0$ si et seulement si pour toute suite de points $(x_n)$ de $\rm I$ qui converge vers $x_0$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(x_0)$.

Continuité sur un intervalle :

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $\rm I$ si $f$ est continue en tout point de cet intervalle.

L’ensemble des fonctions continues sur $\rm I$ est noté $\mathcal C(\rm I)$.

Théorèmes :

Le théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ n'ont pas le même signe, alors $f$ s'annule au moins une fois entre $a$ et $b$.

Si, de plus, on sait que $f$ est strictement monotone, alors $f$ s'annule une unique fois.

Théorème des bornes atteintesSi $f$ est une fonction continue sur un segment alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

Théorème : Une fonction continue sur un intervalle, à valeurs réelles et injective, est strictement monotone.

Théorème de Weierstrass : L’image d’un intervalle par une fonction continue sur cet intervalle est encore un intervalle.

Théorème de la bijection : Toute fonction réelle strictement monotone, définie et continue sur un intervalle, admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur un intervalle.

Méthode 3 : Étudier l’uniforme continuité

Définition : Soit $\rm I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ définie sur $\rm I$ à valeurs réelles. On dit que $f$ est uniformément continue sur $\rm I$ si pour tout $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$, tel que pour tous $(x,y)\in I^2$, $|x-y|<\delta$ $\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Théorème : Si une fonction à valeurs réelles est continue sur un segment, elle est uniformément continue.

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