On considère une fonction f définie sur un intervalle I.
La notation lim signifie que admet pour limite en .
Remarque :
peut désigner un nombre, ou ou .
La notation (respectivement ) signifie que tend vers par valeurs supérieures (respectivement inférieures).
Ainsi, on définit et respectivement que l’on appelle limite à droite (respectivement à gauche) en .
Propriétés :
Une fonction admet une limite en , si et seulement si, elle admet pour limite à droite et à gauche de .
Si alors n’a pas de limite en .
Exemple :
n’a pas de limite en .
Propriété : Si possède une limite finie en , est bornée au voisinage de .
Théorème : Caractérisation séquentielle de la limite
admet pour limite en si et seulement si pour toute suite de points de qui tend vers , la suite tend vers .
Théorème de la limite monotone : Soit fonction croissante sur .
Les limites de à droite en et à gauche en existent et vérifient :
Règles de domination :
- Au voisinage de l’infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.
Exemple : - Au voisinage de l'infini, le quotient de deux polynômes (fraction rationnelle) se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.
Exemple :
Asymptotes :
Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers .
Une fonction admet :
- une asymptote verticale d’équation lorsque ;
- une asymptote horizontale d’équation lorsque .