Matrices équivalentes, semblables et changement de bases

Définition :

Soit $\rm E$ un ${\Bbb K}$-$\rm ev$ de dimension finie $n$.
Soient ${\mathcal B}$ et ${\mathcal B}'$ des bases de $\rm E$.
La matrice de passage de ${\mathcal B}$ à ${\mathcal B}'$, notée $\rm P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'}$, est la matrice de $\mathrm M_n({\Bbb K})$ dont les colonnes sont formées des coordonnées des vecteurs de ${\mathcal B}'$ dans la base ${\mathcal B}$.

Autrement dit, si on note $\rm {\mathcal B}=(e_1,\ldots,e_n)$ et ${\mathcal B}'=(\mathrm e_1',\ldots,\mathrm e_n')$ et si pour tout $j \in \{1,\ldots,n\}$, $\displaystyle \mathrm e_j' = \sum_{i=1}^{n}a_{i,j}\mathrm e_i$ alors :

$\begin{array}{lll}
\scriptstyle \rm P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'} & \scriptstyle = &
\scriptstyle \left(\begin{array}{ccccc}
\scriptstyle a_{1,1} & \scriptstyle\ldots & \scriptstyle a_{1,j} & \scriptstyle \ldots & \scriptstyle a_{1,n}\\
& & & & \\
\scriptstyle \vdots & & & & \scriptstyle \vdots\\
& & & & \\
\scriptstyle a_{n,1} & \scriptstyle \ldots & \scriptstyle a_{n,j} & \scriptstyle \ldots & \scriptstyle a_{n,n}\\
\end{array}\right)
& \begin{array}{l}
\scriptstyle \rm e_1 \\
\\
\\
\scriptstyle \mathrm e_n\\
\end{array}\\
&& \left.\begin{array}{ccccc}
\quad\scriptstyle \uparrow \hspace{0.6cm}& & \scriptstyle \uparrow &
& \hspace{0.5cm}\uparrow\\
\quad \scriptstyle \rm e_1' \hspace{0.5cm}& & \scriptstyle \mathrm e_j' & &\hspace{0.6cm} \scriptstyle \mathrm e_p'\\
\end{array}\right. & \\
\end{array}$

Exemple : Dans $\rm E={\Bbb R}^2$, on considère la base canonique ${\mathcal B}=(f_1,_2)$ et la base ${\mathcal B}'=(v_1,v_2)$définie par $v_1=(1,3)$ et $v_2=(1,-1)$.

La matrice de passage de ${\mathcal B}$ à ${\mathcal B}'$ est la matrice de $\rm M_2({\Bbb R})$ :

$\rm P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
3 & -1
\end{array}\right)$.

Formule de changement de base

Soit $\rm E$ un ${\Bbb K}$-espace vectoriel de dimension finie muni de deux bases ${\mathcal B}$ et ${\mathcal B'}$.

$\begin{array}{ccc}
\rm E & \stackrel{f}{\longrightarrow} & \rm E \\
{\mathcal B} & & {\mathcal B} \\
{\mathcal B}' & & {\mathcal B}'
\end{array}$

On note $\mathrm A={\rm Mat}_{{\mathcal B}}(f)$, $\mathrm A'={\rm Mat}_{{\mathcal B}'}(f)$ et $\rm P=P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'}$. Alors $\rm A'=P^{-1}AP$.

Définition:

Soit la matrice $\mathrm A=(a_{i,j}) \in \mathrm M_n(\mathbb K)$.

La trace vaut : $\mathrm{tr(A)} = a_{1,1} + \ldots + a_{n,n}$.

• Produit de matrices :

Pour toute matrice $\mathrm A\in \mathrm M_{n,p}(\mathbb K)$, pour toute matrice $\mathrm B\in \mathrm M_{p,n}(\mathbb K)$ : $\rm tr(AB)=tr(BA)$.

• Matrices semblables :

Deux matrices semblables ont la même trace.

Remarque :

$\mathrm A\in \mathrm M_n(\mathbb K)$ est semblable à $\mathrm B\in \mathrm M_n(\mathbb K)$ s’il existe $\mathrm P\in \mathrm{GL}_n(\mathbb K)$ (groupe général linéaire = ensemble des matrices carrées réversibles d’ordre $n$) telle que $\rm B = P^{-1}AP$.

Définition: Les matrices $\rm A$ et $\rm A’$ de $\mathrm M_{np}(\mathbb K)$ sont équivalentes lorsqu’il existe $\mathrm P\in \mathrm{GL}_n(\mathbb K)$ et $\mathrm Q \in \mathrm{GL}_p(\mathbb K) $ deux matrices inversibles, telles que : $\rm A’=PAQ$.

Théorème: Deux matrices sont équivalentes si et seulement si ce sont les matrices d’une même application linéaire exprimées dans des bases différentes.

Théorème: Classification des matrices équivalentes par le rang:

Une matrice est de rang $r$ si et seulement si elle est équivalente à $\mathrm J_r$ où la matrice $\mathrm J_r$ a tous ses coefficients nuls à l’exception des $r$ premiers coefficients diagonaux, égaux à $1$.

Corollaire: Deux matrices de $\mathrm M_{np}(\mathbb K)$ sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.