Nombres Complexes

On note $i$ le nombre tel que $i^2=-1$.

L’ensemble $\mathbb C=\{a+ib~/~(a,b)\in\mathbb R^2\}$ est l’ensemble des nombres complexes.

Définition : Soit $z=a+ib$ un nombre complexe avec $a,b\in\mathbb R$.

$a+ib$ est appelé forme algébrique du complexe $z$.

$a=\mbox{Re}(z)$ est la partie réelle de $z$.

$b=\mbox{Im}(z)$ est la partie imaginaire de $z$.

Propriétés : Si $a=0$, $z$ est appelé imaginaire pur.

L’ensemble des imaginaires purs est noté $i\mathbb R$.

Deux nombres complexes sont égaux s’ils ont les mêmes parties réelles et les mêmes parties imaginaires.

$z=0$ si et seulement si $\mbox{Re}(z)=0$ et $\mbox{Im}(z)=0$.

Définition : Soit $z=a+ib$ un nombre complexe.

Le conjugué de $z$ est le nombre complexe $\bar{z}$ tel que $\bar{z}=a-ib$.

Propriétés : Soient $z, z’$ deux nombres complexes.

$\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’}$

$\overline{z\times z’}=\overline{z}\times\overline{z’}$

$\overline{\bar{z}}=z$

Propriétés : Soit $z\in\mathbb C$.

$\mbox{Re}(z)=\dfrac{z+\bar{z}}{2}$

$\mbox{Im}(z)=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}$

D’où : $z\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $\bar{z}=z$ et $z\in i\mathbb R$ $\Leftrightarrow \bar{z}=-z$.

Définition : Soit $z=a+ib$.

Le module est le nombre réel défini par $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Propriétés : $|z|=|\bar{z}|$

$|\lambda \cdot z|=|\lambda||z|$

$|z|=0 \Leftrightarrow z=0$

$|zz’|=|z|\times |z’|$

$\displaystyle\Big|\frac{z}{z’}\Big|=\frac{|z|}{|z’|}$

Théorème : Inégalité triangulaire généralisée

Soit $z, z’\in\mathbb C$.

$||z|-|z’||\leq |z+z’|\leq |z|+|z’|$

Si $z’\neq 0$, $|z+z’|=|z|+|z’|$ si et seulement si $z=\lambda z’$ avec $\lambda \in \mathbb R^+$.

Étant donné que $|z|^2=z\bar{z}$, on obtient l’inverse d’un nombre complexe sous forme algébrique avec :

$\displaystyle\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}$.

Plan complexe : On identifie $\mathbb C$ au plan usuel $\rm P$ muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm O,\vec{i}, \vec{j})$.

Si $\rm M$ de coordonnées $(a,b)$ est un point de $\rm P$, alors le nombre complexe $z=a+ib$ est appelé l’affixe de $\rm M$.

Le nombre $z$ est aussi l’affixe du vecteur $\rm \overrightarrow{OM}$.

L’affixe d’un vecteur $\rm \overrightarrow{AB}$ est égal à $z_{\rm B}-z_{\rm A}$ où $z_{\rm A}$, $z_{\rm B}$ sont les affixes respectives de $\rm A$ et $\rm B$.

Le conjugué de $z$ est le symétrique de $z$ par rapport à l’axe des réels.

Propriétés : Si $M$ est le point d’affixe $z$, $|z|$ représente la distance $\rm \|\overrightarrow{OM}\|$.

Si $\rm M’$ est le point d’affixe $z’$, $|z-z’|$ représente la distance $\rm \|\overrightarrow{M’M}\|$.

Le cercle de centre $\rm A$ (d’affixe $z_{\rm A}$) et de rayon $\rm R$ est l’ensemble $\{z\in\mathbb C/|z-z_{\rm A}|=\rm R\}$.

Le disque fermé de centre $\rm A$ (d’affixe $z_{\rm A}$) et de rayon $\rm R$ est l’ensemble $\{z\in\mathbb C/|z-z_{\rm A}|\leq \rm R\}$.

Le disque ouvert de centre $\rm A$ (d’affixe $z_{\rm A}$) et de rayon $\rm R$ est l’ensemble $\{z\in\mathbb C/|z-z_{\rm A}|< \rm R\}$.