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Systèmes linéaires, continus et invariants (SLCI)

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Déterminer graphiquement les paramètres d'un ordre 1

On considère un système dont la fonction de transfert en boucle fermée s'écrit sous sa forme canonique :

H(p)=K1+τp

On rappelle que K est le gain statique de la fonction de transfert et τ la constante de temps du système. On cherche à déterminer graphiquement ces paramètres dans le cas où l'allure de la sortie est donnée dans le domaine temporel.

On suppose que l'entrée e(t) du système est un échelon tel que pour t>0, e(t)=E0, la transformée de Laplace de l'entrée vaut donc E(p)=E0p.

Connaissant la fonction de transfert et l'entrée du système, on peut déduire la transformée de Laplace de la sortie :

S(p)=E(p)H(p)=E0Kp(1+τp)

Une décomposition en éléments simples ainsi que les transformées inverses de Laplace donnent l'expression de la sortie dans le domaine temporel:

s(t)=E0K(1et/τ)

Si le tracé temporel de la sortie est donné et si on connait son expression analytique, on peut trouver les paramètres inconnus K et τ:

1) Pour t+ on a s(t)E0K, il suffit sur le graphe de lire la valeur finale pour déduire K.

2) A t=τ on a s(τ)=63%×E0K, autrement dit pour t=τ on est à 63% de la valeur finale, il suffit donc de calculer 63%×E0K et de se placer au temps t correspondant.

Calculer une fonction de transfert

Soit un système décrit par le schéma-bloc ci-dessous, on notera $\rm p$ la variable de Laplace. On ne traitera pas le cas d'un système subissant une perturbation extérieure.

On souhaite calculer la fonction de transfert de ce système: $\rm H(p)=\dfrac{S(p)}{E(p)}$. Pour cela on cherche à condenser le plus possible le schéma-bloc, autrement dit :

1) On met dans un même bloc les blocs voisins.

2) On cherche à appliquer la formule de Black qui sert à calculer la fonction de transfert d'un système avec comparateur.

Si besoin on peut décaler les blocs pour se ramener à un des 2 points cités ci-dessus. Pour le schéma-bloc étudié :

Étape 1 : On peut multiplier entre eux les 2 blocs $\rm H1(p)$ et $\rm H2(p)$ ce qui donne :



Étape 2 : On voudrait utiliser la formule de Black sur la boucle constituée des blocs $\rm H3(p)$, $\rm H4(p)$ et $\rm H6(p)$ mais il faut d'abord décaler l'intersection qui lie les blocs $\rm H3(p)$, $\rm H4(p)$ et $\rm H5(p)$, donc :


Étape 3 :On peut appliquer la formule de Black sur les blocs $\rm H3(p)$, $\rm H4(p)$ et $\rm H6(p)$ et regrouper les blocs $\rm H5(p)$ et $\rm \dfrac{1}{H4(p)}$:

Étape 4 : On peut appliquer une deuxième fois la formule de Black, la fonction de transfert apparaît et vaut alors $\rm H(p)=\frac{H1(p)H2(p)H3(p)H4(p)}{1+H3(p)H4(p)H6(p)+H1(p)H2(p)H3(p)H5(p)}$

Déterminer analytiquement les paramètres d’une fonction de transfert (Ordre 2)

Le dispositif de régulation d’altitude en pilotage automatique d’un avion de ligne (Airbus A 380) est modélisé par l’équation différentielle suivante :

$\displaystyle m \cdot \frac{d^2y}{dt^2} + f \cdot \frac{dy}{dt} + \mathrm{K_{eq}} \cdot y(t) = \mathrm{K_{eq}} \cdot x(t)$

$y(t)$ est l’altitude de l’avion (sortie) en $m$, $x(t)$ l’altitude souhaitée en vol de croisière (consigne) en $m$, $\mathrm m$ la masse de l’avion en $\rm kg$, $f$ le coefficient de frottement aérodynamique en kg/s, et $\rm \displaystyle K_{eq}$ une constante en $\rm \displaystyle kg/s^{2}$.

  1. Utiliser la transformation de Laplace pour établir la fonction de transfert du système :

    $\displaystyle (m . p^2 + f . p + \mathrm{K_{eq}}) \cdot \mathrm Y(p) = \mathrm{K_{eq}} \cdot \mathrm X(p)$

    $\displaystyle \mathrm H(p) = \frac{\mathrm Y(p)}{\mathrm X(p)} = \frac{\mathrm{K_{eq}}}{m \cdot p^2 + f \cdot p + \rm K_{eq}}$

  2. Mettre la fonction de transfert sous forme canonique :

    Cette étape revient en pratique à « faire disparaître » le facteur du terme en $p^0$ du dénominateur.

    $\displaystyle \mathrm H(p) = \frac{\mathrm Y(p)}{\mathrm X(p)} = \frac{1}{\frac{m}{\mathrm{K_{eq}}}\cdot p^2 + \frac{f}{\mathrm{K_{eq}}}. p + 1}$

  3. Réaliser l’identification des paramètres :

    $\displaystyle \mathrm H(p) = \frac{\mathrm K}{\frac{p^2}{\omega_{0}^2} + \frac{2 \cdot z \cdot p}{\omega_{0}} + 1}$

Ainsi :

  • $\displaystyle \frac{1}{\omega_{0}^2} = \frac{m}{\mathrm{K_{eq}}} \Rightarrow \omega_{0} = \sqrt{\frac{\mathrm{K_{eq}}}{m}}$ $\rm (rad.s^{-1})$,
  • $\displaystyle \frac{2 \cdot z}{\omega_{0}} = \frac{f}{\mathrm{K_{eq}}} \Leftrightarrow z = \frac{f}{2 \cdot \sqrt{\mathrm{K_{eq}}\cdot m}}$ (Sans unité),
  • $\rm K = 1$ (Sans unité).

Note : le gain statique peut être différent de $1$, et posséder une unité/dimension si l’entrée et la sortie n’ont pas la même unité/dimension.

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