sev = sous-espace vectoriel
ev = espace vectoriel
E est un K-espace vectoriel.
1) Famille libre et génératrice, base
a) Famille liée
Soit F=(u1,…,un) une famille de vecteurs de E.
La famille F est liée dans E (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement dépendants dans E s'il existe (λ1,…,λn)∈Kn∖{(0,…,0)} tel que λ1⋅u1+…+λn.un=0E.
(λ1,…,λn)∈Kn∖{(0,…,0)} signifie qu' il existe au moins un indice i∈{1,…,n} tel que λi≠0.
Exemple : On considère dans E=R3 les vecteurs u1=(1,0,−1), u2=(1,−2,3) et u3=(1,2,−5).
La famille (u1,u2,u3) est liée dans R3 car on observe que 2u1−u2−u3=0K3.
Théorème : une famille est liée si et seulement si l'un des vecteurs s'exprime comme une C.L des autres.
b) Famille libre
Définition : Soit F=(u1,…,un) une famille de vecteurs de E.
F est libre dans E si la famille n'est pas liée.
Cela revient à dire, F est libre dans E (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement indépendants dans E) si ∀(λ1,…,λn)∈Kn : λ1⋅u1+…+λn⋅un=0E ⟹ (λ1=0,λ2=0,…,λn=0).
Exemple :
On considère E=R3 muni de sa structure canonique d'ev.
Soient u1=(2,1,5), u2=(−1,1,−1) et u3=(1,1,3).
Soient (λ1,λ2,λ3)∈R3 tel que λ1⋅u1+λ2⋅u2+λ3⋅u3=0E.
On obtient le système :
{2⋅λ1−λ2+λ3=0λ1+λ2+λ3=05⋅λ1−λ2+3⋅λ3=0.
On utilise la méthode du pivot de Gauss.
(2−111115−13).
On effectue les opérations suivantes :
L2←L2−12L1 et L3←L3−52L1.
(2−110321203212).
On revient au système :
{2⋅λ1−λ2+λ3=03⋅λ2+λ3=0.
On peut exprimer les solutions en fonction de λ2 par exemple.
λ3=−3⋅λ2 et 2⋅λ1=λ2−λ3=4⋅λ2. Donc λ1=2⋅λ2.
Les solutions du système sont{(2⋅λ2,λ2,−3⋅λ2)∣λ2∈R}=vect((2,1,−3)).
En choisissant par exemple λ2=1, on obtient la solution (2,1,−3).
Cela signifie qu'on a la relation linéaire: 2⋅u1+u2−3⋅u3=0E
Donc la famille est liée.
À retenir :
Montrer que la famille F=(ui)1≤i≤n est libre est équivalent à montrer que le système linéaire λ1⋅u1+…+λn⋅un=0E d'inconnues λi n'admet que la solution nulle comme solution.
Attention : n vecteurs libres ne signifient pas 2 à 2 non colinéaires.
Exemple : a=(1,0), b=(0,1) et c=a+b=(1,1) dans R2. Les vecteurs a, b et c sont deux à deux non colinéaires mais pourtant la famille (a,b,c) est liée.
c) Famille génératrice
Soit la famille F=(u1,…,un) de vecteurs de l'espace vectoriel E.
La famille F est une famille génératrice de E si vect(F)=E.
On dit dans ce cas que la famille F engendre E.
Comme on a toujours vect(F)⊂E, on a la définition équivalente suivante :
Définition équivalente :
La famille F est une famille génératrice de E si pour tout vecteur u de E il existe (λ1,…,λn)∈Kn tels que u=λ1⋅u1+…+λn⋅un.
d) Base
Définition d'une base : une base d'un ev ou un sev est une famille qui est à la fois libre et génératrice.
Théorème : caractérisation d'une base.
B=(u1,…,un) est une base de E⟺ pour tout vecteur u de E il existe un unique n-uplet (λ1,…,λn) de Kn tel que u=λ1⋅u1+…+λn⋅un.
Le n-uplet (λ1,…,λn) s'appelle les coordonnées du vecteur u dans la base B.
2) La dimension d'un sev ou un ev
Définition : la dimension d'un ev E est le cardinal (c'est-à-dire le nombre d'éléments) d'une base de E.
Donc pour chercher la dimension d'un sev ou un ev, il faut chercher une base.
Théorème très pratique si on connaît à l'avance la dimension d'un sev pour en déterminer une base :
Soit F un sev de dimension n et soit B une famille de F.
- Si B est une famille de cardinal n libre alors B est une base de F.
- Si B est une famille de cardinal n génératrice alors B est une base de F.
3) Formule des dimensions
Soit F et G des sev de E de dimension finie. On a alors la formule dite des dimensions ou de Grassmann : dim(F+G) =dim(F)+dim(G)−dim(F∩G).
En particulier, si F et G sont en somme directe, on a dim(F⊕G)=dim(F)+dim(G).
4) Théorème du rang
Théorème : soit f une application linéaire d'un espace E de dimension finie dans un espace F (pas forcément de dimension finie).
dim(E)=dim(ker(f))+rg(f)
On rappelle que rg(f) est la dimension de l'image.
Ce théorème nous dit que plus l'image est "grande" plus le noyau est "petit". Et vice et versa.
Conséquence pour les endomorphismes en dimension finie. On montre facilement à partir de la formule du rang que si f est un endomorphisme d'un espace de dimension finie :
f est injective si et seulement si f est surjective si et seulement si f est bijective (c'est-à-dire un automorphisme).