sev = sous-espace vectoriel
ev = espace vectoriel
E est un K-espace vectoriel.

1) Famille libre et génératrice, base

a) Famille liée

Soit F=(u1,,un) une famille de vecteurs de E.

La famille F est liée dans E (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement dépendants dans E s'il existe (λ1,,λn)Kn{(0,,0)} tel que λ1u1++λn.un=0E.

(λ1,,λn)Kn{(0,,0)} signifie qu' il existe au moins un indice i{1,,n} tel que λi0.

Exemple : On considère dans E=R3 les vecteurs u1=(1,0,1), u2=(1,2,3) et u3=(1,2,5).

La famille (u1,u2,u3) est liée dans R3 car on observe que 2u1u2u3=0K3.

Théorème : une famille est liée si et seulement si l'un des vecteurs s'exprime comme une C.L des autres.

b) Famille libre

Définition : Soit F=(u1,,un) une famille de vecteurs de E.

F est libre dans E si la famille n'est pas liée.

Cela revient à dire, F est libre dans E (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement indépendants dans E) si (λ1,,λn)Kn : λ1u1++λnun=0E (λ1=0,λ2=0,,λn=0).

Exemple :

On considère E=R3 muni de sa structure canonique d'ev.

Soient u1=(2,1,5), u2=(1,1,1) et u3=(1,1,3).

Soient (λ1,λ2,λ3)R3 tel que λ1u1+λ2u2+λ3u3=0E.

On obtient le système :

{2λ1λ2+λ3=0λ1+λ2+λ3=05λ1λ2+3λ3=0.

On utilise la méthode du pivot de Gauss.

(211111513).

On effectue les opérations suivantes :

L2L212L1 et L3L352L1.

(2110321203212).

On revient au système :

{2λ1λ2+λ3=03λ2+λ3=0.

On peut exprimer les solutions en fonction de λ2 par exemple.

λ3=3λ2 et 2λ1=λ2λ3=4λ2. Donc λ1=2λ2.

Les solutions du système sont{(2λ2,λ2,3λ2)λ2R}=vect((2,1,3)).

En choisissant par exemple λ2=1, on obtient la solution (2,1,3).

Cela signifie qu'on a la relation linéaire: 2u1+u23u3=0E

Donc la famille est liée.

À retenir :

Montrer que la famille F=(ui)1in est libre est équivalent à montrer que le système linéaire λ1u1++λnun=0E d'inconnues λi n'admet que la solution nulle comme solution.

Attention : n vecteurs libres ne signifient pas 2 à 2 non colinéaires.

Exemple : a=(1,0), b=(0,1) et c=a+b=(1,1) dans R2. Les vecteurs a, b et c sont deux à deux non colinéaires mais pourtant la famille (a,b,c) est liée.

c) Famille génératrice

Soit la famille F=(u1,,un) de vecteurs de l'espace vectoriel E.

La famille F est une famille génératrice de E si vect(F)=E.

On dit dans ce cas que la famille F engendre E.

Comme on a toujours vect(F)E, on a la définition équivalente suivante :

Définition équivalente :

La famille F est une famille génératrice de E si pour tout vecteur u de E il existe (λ1,,λn)Kn tels que u=λ1u1++λnun.

d) Base

Définition d'une base : une base d'un ev ou un sev est une famille qui est à la fois libre et génératrice.

Théorème : caractérisation d'une base.

B=(u1,,un) est une base de E pour tout vecteur u de E il existe un unique n-uplet (λ1,,λn) de Kn tel que u=λ1u1++λnun.

Le n-uplet (λ1,,λn) s'appelle les coordonnées du vecteur u dans la base B.

2) La dimension d'un sev ou un ev

Définition : la dimension d'un ev E est le cardinal (c'est-à-dire le nombre d'éléments) d'une base de E.

Donc pour chercher la dimension d'un sev ou un ev, il faut chercher une base.

Théorème très pratique si on connaît à l'avance la dimension d'un sev pour en déterminer une base :

Soit F un sev de dimension n et soit B une famille de F.

  • Si B est une famille de cardinal n libre alors B est une base de F.
  • Si B est une famille de cardinal n génératrice alors B est une base de F.

3) Formule des dimensions

Soit F et G des sev de E de dimension finie. On a alors la formule dite des dimensions ou de Grassmann : dim(F+G) =dim(F)+dim(G)dim(FG).

En particulier, si F et G sont en somme directe, on a dim(FG)=dim(F)+dim(G).

4) Théorème du rang

Théorème : soit f une application linéaire d'un espace E de dimension finie dans un espace F (pas forcément de dimension finie).

dim(E)=dim(ker(f))+rg(f)

On rappelle que rg(f) est la dimension de l'image.

Ce théorème nous dit que plus l'image est "grande" plus le noyau est "petit". Et vice et versa.

Conséquence pour les endomorphismes en dimension finie. On montre facilement à partir de la formule du rang que si f est un endomorphisme d'un espace de dimension finie :

f est injective si et seulement si f est surjective si et seulement si f est bijective (c'est-à-dire un automorphisme).