1) Équations différentielles linéaires du 1er ordre
a) Définition :
- Une équation différentielle est une équation faisant intervenir une fonction inconnue f ainsi que ses dérivées: f′, f″, …. L'inconnue f est souvent notée y.
- Une équation différentielle linéaire (EDL) du 1er ordre est une équation du type α(x)y′+β(x)y=γ(x).
Exemple : (2+cos(x))y′+sin(x)y=(2+cos(x))sin(x)
Contre-exemple : y″+x2y′=y2.
- On dit que l'EDL du 1er ordre est résolue si elle peut s'écrire (E):y′+a(x)y=b(x) (c'est-à-dire le coefficient devant y′ vaut 1).
- L'équation (E0):y′+a(x)=0 s'appelle l'équation différentielle homogène associée (EDHA) à v(E)$.
b) Méthode pour résoudre une EDL du 1er ordre
1ère étape : si on a une équation du type α(x)y′+β(x)y=γ(x), on se place sur les intervalles sur lesquels la fonction α ne s'annule pas. Dans ce cas, on peut diviser l'équation par la fonction α: y′+β(x)α(x)y=γ(x)α(x).
Notons I l'intervalle de résolution choisi.
2ème étape : on résout l'équation différentielle homogène associée (EDHA) (E0):y′+a(x)=0. Un théorème nous dit que toutes les solutions de (E0) sont de la forme y0(x)=λe−A(x) avec A une primitive de a sur l'intervalle I de résolution.
3ème étape : On cherche une solution particulière de (E). Soit on voit une solution particulière évidente. Soit on la cherche à l'aide de la méthode de la variation de la constante (MVC). On commence par choisir une solution de (E0). En général, on prend y0(x)=e−A(x) c'est-à-dire qu'on a choisi λ=1.
On cherche ensuite une solution particulière yp de (E) sous la forme yp=μy0 avec μ une fonction dérivable inconnue.
On a (yp)′=μ′y0+μy′0 donc yp est solution de (E) si et seulement si μ′y0+μy′0+aμy0=b⟺μ′y0+μ(y′0+ay0)=b. Comme y0 est une solution de (E0), on a y′0+ay0=0 donc on a μ′y0=b soit μ=∫by0.
4ème étape : Un théorème affirme que toutes les solutions de (E) s'obtiennent en additionnant toutes les solutions de (E0) avec une solution particulière de (E).
c) Exemple : résoudre l'équation (2+cos(x))y′+sin(x)y=(2+cos(x))sin(x). Comme 2+cos(x) ne s'annule jamais on peut diviser par cette expression: (E):y′+sin(x)2+cos(x)y=sin(x). On va donc résoudre sur R.
L'EDHA est (E0):y′+sin(x)2+cos(x)y=0.
Les solutions sont du type y0(x)=λe−A(x) avec A(x)=∫sin(x)2+cos(x)dx=−ln(2+cos(x)).
On a donc y0(x)=λexp(ln(2+cos(x)))=λ(2+cos(x)).
On cherche une solution particulière avec la MVC. On choisit y0(x)=2+cos(x). On cherche ensuite une solution particulière yp de (E) sous la forme yp=μy0 avec μ une fonction dérivable inconnue.
D'après le cours, on a μ(x)=∫b(x)y0(x)dx=∫sin(x)2+cos(x)dx=−ln(2+cos(x)).
Donc yp(x)=−(2+cos(x))ln(2+cos(x)).
Finalement, toutes les solutions de (E) sont x∈R↦−(2+cos(x))ln(2+cos(x))+λ(2+cos(x)).
2) Équations différentielles linéaires du 2nd ordre
a) Définition : Soient (a,b,c)∈R3. On suppose que a≠0.
Soit φ:R→R ou C une fonction continue sur R.
L'équation (E):ay″+by′+cy=φ(x) s'appelle une EDL du second ordre à coefficients constants.
La fonction φ est une fonction de la forme suivante :
- x↦P(x)eλx avec λ un nombre complexe et P un polynôme à coefficient complexe.
- x↦Bcos(ωx) avec (B,ω)∈R2
- x↦Bsin(ωx) avec (B,ω)∈R2
b) Résolution de (E0):ay″+by′+cy=0.
Théorème :
- Si Δ>0 alors les solutions sont les fonctions du type y(x)=λ1er1x+λ2er2x avec (λ1,λ2)∈R2 et r1 et r2 les deux racines réelles de l'équation caractéristique.
- Si Δ=0 alors les solutions sont les fonctions du type y(x)=(λ1x+λ2R)er0x avec (λ1,λ2)∈R2 et r0 la racine double de l'équation caractéristique.
- Si Δ<0 alors les solutions sont les fonctions du type x↦eαx[Acos(βx)+Bsin(βx)] avec (A,B)∈R2 et α=Re(r) et β=ℑ(r) où r est l'une des racines complexes (non réelles) de l'équation caractéristique.
c) Méthode pour résoudre une EDL du second ordre avec un second membre du type exponentielle-polynomial
La méthode consiste à cherche une solution particulière de la forme yp(x)=P(x)eλx avec P un polynôme à coefficients dans R ou éventuellement C.
d) Méthode pour résoudre une EDL du second ordre avec un second membre du type trigonométrique
On se base sur le théorème suivant
Théorème : Soit (a,b,c)∈R∗×R2. Soit φ:R→C une fonction à valeurs complexes.
Soit (E) l'équation différentielle (E):ay″+by′+cy=φ.
Si y est une solution particulière de (E) alors la partie réelle Re(y) est une solution particulière à valeurs réelles de (Er):ay″+by′+cy =Re(φ) et Im(y) est une solution particulière à valeurs réelles de (Ei):ay″+by′+cy =Im(φ).
Comme cos(ωx)=Re(eiωx) et sin(ωx)=Im(eiωx), on se ramène à une second membre du type type exponentielle-polynomial.
Exemple : (E):y″+y=cosx
Les solutions réelles de (E0) sont les fonctions du type x↦μ1cosx+μ2sinx.
On introduit l'équation (E1):y″+y=eix car cos(x)=eix.
Le second membre est sous forme polynomiale-exponentielle.
On cherche une solution particulière de (E1) sous la forme x↦Q(x)eix.
On a y(x)=Q(x)eixy′(x)=[Q′(x)+iQ(x)]eixy″(x)=[Q″(x)+2iQ′(x)−Q(x)]eix
On a donc y″(x)+y(x)=eix⟺(⋆)Q″(x)+2iQ′=1.
On cherche un polynôme de degré 1: Q(x)=ax+b est solution de l'équation (⋆) si et seulement si ∀x∈R: 2ia=1⟺a=−i2
Une solution particulière de (E1) est donc y:x↦−i2eix. D'après le théorème précédent, Re(y) une solution particulière de (E).
Or Re(y):x↦x2sinx. Donc toutes les solutions de (E) sont y(x)=x2sinx+μ1cosx+μ2sinx avec (μ1,μ2)∈R2.