1) Équations différentielles linéaires du 1er ordre

a) Définition :

  • Une équation différentielle est une équation faisant intervenir une fonction inconnue f ainsi que ses dérivées: f, f, . L'inconnue f est souvent notée y.
  • Une équation différentielle linéaire (EDL) du 1er ordre est une équation du type α(x)y+β(x)y=γ(x).

Exemple : (2+cos(x))y+sin(x)y=(2+cos(x))sin(x)

Contre-exemple : y+x2y=y2.

  • On dit que l'EDL du 1er ordre est résolue si elle peut s'écrire (E):y+a(x)y=b(x) (c'est-à-dire le coefficient devant y vaut 1). 
  • L'équation (E0):y+a(x)=0 s'appelle l'équation différentielle homogène associée (EDHA) à v(E)$. 

b) Méthode pour résoudre une EDL du 1er ordre 

1ère étape : si on a une équation du type α(x)y+β(x)y=γ(x), on se place sur les intervalles sur lesquels la fonction α ne s'annule pas. Dans ce cas, on peut diviser l'équation par la fonction α: y+β(x)α(x)y=γ(x)α(x).

Notons I l'intervalle de résolution choisi. 

2ème étape : on résout l'équation différentielle homogène associée (EDHA) (E0):y+a(x)=0. Un théorème nous dit que toutes les solutions de (E0) sont de la forme y0(x)=λeA(x) avec A une primitive de a sur l'intervalle I de résolution. 

3ème étape : On cherche une solution particulière de (E). Soit on voit une solution particulière évidente. Soit on la cherche à l'aide de la méthode de la variation de la constante (MVC). On commence par choisir une solution de (E0). En général, on prend y0(x)=eA(x) c'est-à-dire qu'on a choisi λ=1.
On cherche ensuite une solution particulière yp de (E) sous la forme yp=μy0 avec μ une fonction dérivable inconnue.

On a (yp)=μy0+μy0 donc yp est solution de (E) si et seulement si μy0+μy0+aμy0=bμy0+μ(y0+ay0)=b. Comme y0 est une solution de (E0), on a y0+ay0=0 donc on a μy0=b soit μ=by0.

4ème étape : Un théorème affirme que toutes les solutions de (E) s'obtiennent en additionnant toutes les solutions de (E0) avec une solution particulière de (E).

c) Exemple : résoudre l'équation (2+cos(x))y+sin(x)y=(2+cos(x))sin(x). Comme 2+cos(x) ne s'annule jamais on peut diviser par cette expression: (E):y+sin(x)2+cos(x)y=sin(x). On va donc résoudre sur R.

L'EDHA est (E0):y+sin(x)2+cos(x)y=0.

Les solutions sont du type y0(x)=λeA(x) avec A(x)=sin(x)2+cos(x)dx=ln(2+cos(x)).

On a donc y0(x)=λexp(ln(2+cos(x)))=λ(2+cos(x))

On cherche une solution particulière avec la MVC. On choisit y0(x)=2+cos(x). On cherche ensuite une solution particulière yp de (E) sous la forme yp=μy0 avec μ une fonction dérivable inconnue.
D'après le cours, on a μ(x)=b(x)y0(x)dx=sin(x)2+cos(x)dx=ln(2+cos(x)).

Donc yp(x)=(2+cos(x))ln(2+cos(x)).

Finalement, toutes les solutions de (E) sont xR(2+cos(x))ln(2+cos(x))+λ(2+cos(x)).

2) Équations différentielles linéaires du 2nd ordre

a) Définition : Soient (a,b,c)R3. On suppose que a0

Soit φ:RR ou C une fonction continue sur R.

L'équation (E):ay+by+cy=φ(x) s'appelle une EDL du second ordre à coefficients constants.

La fonction φ est une fonction de la forme suivante :

  • xP(x)eλx avec λ un nombre complexe et P un polynôme à coefficient complexe.
  • xBcos(ωx) avec (B,ω)R2
  • xBsin(ωx) avec (B,ω)R2

b) Résolution de (E0):ay+by+cy=0

Théorème :

  • Si Δ>0 alors les solutions sont les fonctions du type y(x)=λ1er1x+λ2er2x avec (λ1,λ2)R2 et r1 et r2 les deux racines réelles de l'équation caractéristique.
  • Si Δ=0 alors les solutions sont les fonctions du type y(x)=(λ1x+λ2R)er0x avec (λ1,λ2)R2 et r0 la racine double de l'équation caractéristique.
  • Si Δ<0 alors les solutions sont les fonctions du type xeαx[Acos(βx)+Bsin(βx)] avec (A,B)R2 et α=Re(r) et β=(r)r est l'une des racines complexes (non réelles) de l'équation caractéristique.

c) Méthode pour résoudre une EDL du second ordre avec un second membre du type exponentielle-polynomial

La méthode consiste à cherche une solution particulière de la forme yp(x)=P(x)eλx avec P un polynôme à coefficients dans R ou éventuellement C.

d) Méthode pour résoudre une EDL du second ordre avec un second membre du type trigonométrique

On se base sur le théorème suivant 

Théorème : Soit (a,b,c)R×R2. Soit φ:RC une fonction à valeurs complexes. 

Soit (E) l'équation différentielle (E):ay+by+cy=φ.

Si y est une solution particulière de (E) alors la partie réelle Re(y) est une solution particulière à valeurs réelles de (Er):ay+by+cy =Re(φ) et Im(y) est une solution particulière à valeurs réelles de (Ei):ay+by+cy =Im(φ).

Comme cos(ωx)=Re(eiωx) et sin(ωx)=Im(eiωx), on se ramène à une second membre du type type exponentielle-polynomial.

Exemple : (E):y+y=cosx

Les solutions réelles de (E0) sont les fonctions du type xμ1cosx+μ2sinx.

On introduit l'équation (E1):y+y=eix car cos(x)=eix

Le second membre est sous forme polynomiale-exponentielle.

On cherche une solution particulière de (E1) sous la forme xQ(x)eix.

On a y(x)=Q(x)eixy(x)=[Q(x)+iQ(x)]eixy(x)=[Q(x)+2iQ(x)Q(x)]eix

On a donc y(x)+y(x)=eix()Q(x)+2iQ=1.

On cherche un polynôme de degré 1: Q(x)=ax+b est solution de l'équation () si et seulement si xR: 2ia=1a=i2

Une solution particulière de (E1) est donc y:xi2eix. D'après le théorème précédent, Re(y) une solution particulière de (E)

Or Re(y):xx2sinx. Donc toutes les solutions de (E) sont y(x)=x2sinx+μ1cosx+μ2sinx avec (μ1,μ2)R2.