Espaces préhilbertiens réels et endomorphismes des espaces euclidiens

Soit $\mathrm{E}$ un espace préhilbertien réel de produit scalaire $(\cdot|\cdot)$.
Soit $\mathrm{F}$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien $\mathrm{E}$. On a : $\mathrm{E=F\bigoplus F^{\bot}}$.

Remarque :

$\mathrm{F^{\bot}}=\{x\in \mathrm E/\mbox{pour tout } y \in \mathrm F, (y|x)=0\}$ est le supplémentaire orthogonal de $\mathrm{F}$, c’est-à-dire $\mathrm{F+F^{\bot}=E}$, $\mathrm{F\cap F^{\bot}=\{0_E\}}$ et pour tout $(x, y)\in \mathrm F\times \mathrm F^{\bot}, (x|y)=0$ (vecteurs orthogonaux).

Méthode 1 : Etudier une projection orthogonale

• Utiliser la définition :

La projection orthogonale sur $\mathrm{F}$ est la projection $\mathrm{p_F}$ sur $\mathrm{F}$ parallèlement à $\mathrm{F^{\bot}}$.

• Utiliser l’expression dans une base orthonormale :

Soit $\mathrm{(e_0,…,e_n)}$ base orthonormale du sous-espace vectoriel $\mathrm{F}$.
Pour tout $x\in \rm E$, $\mathrm{p_F}(x)=\displaystyle\mathrm{\sum_{k=0}^{n}(e_k}|x)\rm e_k$.

• Etudier une suite orthonormale de vecteurs :

Soit $\mathrm{(e_k)_{k\in\mathbb N}}$ une suite orthonormale totale d’éléments de $\mathrm{E}$.
Soit $\mathrm{p_n}$ le projecteur orthogonal de $\mathrm{E}$ sur $\mathrm{Vect(e_0,…,e_n)}$ pour tout $\mathrm{n\in\mathbb N}$.
Alors, pour tout $x\in \rm E$, $\mathrm{(p_n}(x))_{\rm n\in\mathbb N}$ converge vers $x$.

Remarque :

$\mathrm{(e_k)_{k\in\mathbb N}}$ suite de vecteurs de $\mathrm{E}$ est totale si $\displaystyle \mathrm{\overline{Vect\{e_n/n\in\mathbb N\}}=E}$.

Corollaire :

Si $\mathrm{(e_k)_{k\in\mathbb N}}$ suite orthonormale totale d’éléments de $\mathrm{E}$, alors pour tout $x\in \rm E$, $x=\displaystyle\mathrm{\sum_{k=0}^{+\infty}(e_k}|x)\rm e_k$.

Méthode 2: Etudier des matrices orthogonales

Définitions : Une matrice orthogonale de taille $n$ est une matrice de $M_n(\mathbb R)$ vérifiant $M^tM=I_n$.

L’ensemble des matrices orthogonales de taille $n$ forme un groupe appelé groupe orthogonal et noté $O_n(\mathbb R)$. C’est un sous-groupe de $GL_n(\mathbb R)$.

Propriétés : Une matrice est orthogonale si et seulement si ses lignes forment une base orthonormale de $\mathbb R^n$.

Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut 1 ou -1.

Une matrice orthogonale est positive (ou directe)  si son déterminant est égal à 1 et négative (ou indirecte) si son déterminant est égal à -1.

Définition : L’ensemble des matrices orthogonales positives forme un groupe appelé le groupe spécial orthogonal et noté $SO_n(\mathbb R)$.

Cas particulier : la dimension 2

Les matrices orthogonales positives sont de la forme  $\left(\begin{matrix}\cos & \theta \\ \sin & \theta \\ \sin & \theta \\ \cos & \theta \end{matrix}\right)$ avec $\theta\in\mathbb R$.

Les matrices orthogonales négatives sont de la forme  $\left(\begin{matrix} \cos & \theta \\ \sin & \theta \\ \sin & \theta \\ -\cos & \theta \end{matrix}\right)$    avec $\theta\in\mathbb R$.

Méthode 3 : Etudier une isométrie vectorielle

Soit $\mathrm{E}$ un espace euclidien (= espace préhilbertien réel de dimension finie) de dimension $\mathrm{n\in\mathbb N^*}$.

Définition :

Une isométrie vectorielle (aussi appelée automorphisme orthogonal d’un espace euclidien) de $\mathrm{E}$ est un endomorphisme $\mathrm{u}$ conservant la norme c’est-à-dire pour tout $x\in\rm E$, $\|\mathrm u(x)\|=\|x\|$.

L'ensemble des isométries de $E$ est un groupe, appelé groupe orthogonal et noté $O(E)$.

Théorème :

Soit $\mathrm{u}$ endomorphisme de $\mathrm{E}$. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

1. $\mathrm{u}$ est orthogonal
2. $\mathrm{u}$ conserve le produit scalaire : pour tous $x,y \in \rm E$, $(\mathrm u(x)|\mathrm u(y))=(x|y)$.

Théorème :

Soient $\mathrm{u}$ endomorphisme de $\mathrm{E}$ et $\mathrm{e=(e_1,…,e_n)}$ une base orthonormale de $\mathrm{E}$. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

1. $\mathrm{u}$ est orthogonal
2. La famille $\mathrm{(u(e_1),…,u(e_n))}$ est une base orthonormale
3. $\mathrm{Mat_e u \in O_n(\mathbb R)}$

Exemples:

Une symétrie orthogonale est une symétrie $s$  telle que $ker(s−Id_E)$ et $ker(s+Id_E)$

 soient orthogonaux.

Une symétrie est une isométrie vectorielle si et seulement si c'est une symétrie orthogonale.

Une  réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

Définition :

Une isométrie directe (ou positive) est une isométrie vectorielle de déterminant $1$. Dans le cas contraire (déterminant $= -1$), on parle d’isométrie indirecte (ou négative).

L'ensemble des isométries positives de $E$ est un groupe, appelé groupe spécial orthogonal et noté $SO(E)$.

Théorème de réduction :

Une isométrie directe (différente de l’identité) peut être représentée dans une base orthonormale $\mathrm{(\vec u,\vec v,\vec w)}$ par la matrice $$\mathrm{\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta\\ 0 & \sin \theta & \cos \theta\\ \end{matrix}\right)}$$

L’isométrie correspond à la rotation d’axe dirigé et orienté par $\mathrm{\vec u}$ et d’angle $\theta$.