Qu’est-ce que la fonction d’onde ?
La notion de fonction d’onde est au cœur de la physique quantique. Elle se note généralement, Ψ(M,t) et représente l’état quantique d’un système.
Remarque 1 : En mécanique quantique, la fonction d’onde remplace la notion de trajectoire utilisée en mécanique classique.
Remarque 2 : La fonction d’onde est à valeurs complexes. Seul son module a une signification expérimentale.
Comment calculer la densité de probabilité de présence d’une particule ?
La densité volumique de probabilité de présence d’une particule notée ρ(M,t) est donnée par le carré de la norme de la fonction d’onde :
ρ(M,t)=dPdτ=|Ψ(M,t)|2
Remarque : ρ étant une densité de probabilité, la condition de normalisation peut s’écrire :
∭ρ(M,t)dτ(M)=1
Ou encore
∭|Ψ(M,t)|2dτ=1
Qu’est-ce que l’équation de Schrödinger ?
En mécanique quantique, les lois de Newton sont remplacées par l’équation de Schrödinger.
Pour une particule élémentaire non relativiste sans spin soumise à un potentiel V(M,t), l’équation de Schrödinger s’écrit :
iℏ∂Ψ∂t=−ℏ22mΔΨ+V(M,t)Ψ
Comment trouver les états stationnaires solutions de l’équation de Schrödinger ?
On se place dans le cadre d’une particule élémentaire non relativiste sans spin soumise à un potentiel V(x) (donc indépendant du temps). On procède alors à la séparation des variables temps et espace en cherchant une solution à l’équation de Schrödinger sous la forme :
Ψ(M,t)=φ(M)e−iωt
On remplace cette forme de solution dans l’équation de Schrödinger et on obtient :
Eφ=−ℏ22mΔφ+Vφ
Ou encore
Eφ=Hφ
Avec
m la masse de la particule
ℏ la constante de Planck réduite
H l’opérateur hamiltonien
E=ℏω qui est une valeur propre de l’hamiltonien et qui sera l’énergie de l’état étudié
On a également varphi vecteur propre de l’hamiltonien
Remarque : On parle d’état stationnaire car, dans notre cas, le carré de la norme de la fonction d’onde est indépendant du temps :
|Ψ(M,t)|2=|φ(M)e−iωt|2=|φ(M)|2