Qu’est-ce que la fonction d’onde ?

La notion de fonction d’onde est au cœur de la physique quantique. Elle se note généralement, Ψ(M,t) et représente l’état quantique d’un système.

Remarque 1 : En mécanique quantique, la fonction d’onde remplace la notion de trajectoire utilisée en mécanique classique.

Remarque 2 : La fonction d’onde est à valeurs complexes. Seul son module a une signification expérimentale.

Comment calculer la densité de probabilité de présence d’une particule ?

La densité volumique de probabilité de présence d’une particule notée ρ(M,t) est donnée par le carré de la norme de la fonction d’onde :

ρ(M,t)=dPdτ=|Ψ(M,t)|2

Remarque : ρ étant une densité de probabilité, la condition de normalisation peut s’écrire :

ρ(M,t)dτ(M)=1

Ou encore

|Ψ(M,t)|2dτ=1

Qu’est-ce que l’équation de Schrödinger ?

En mécanique quantique, les lois de Newton sont remplacées par l’équation de Schrödinger.

Pour une particule élémentaire non relativiste sans spin soumise à un potentiel V(M,t), l’équation de Schrödinger s’écrit :

iΨt=22mΔΨ+V(M,t)Ψ

Comment trouver les états stationnaires solutions de l’équation de Schrödinger ?

On se place dans le cadre d’une particule élémentaire non relativiste sans spin soumise à un potentiel V(x) (donc indépendant du temps). On procède alors à la séparation des variables temps et espace en cherchant une solution à l’équation de Schrödinger sous la forme :

Ψ(M,t)=φ(M)eiωt

On remplace cette forme de solution dans l’équation de Schrödinger et on obtient :

Eφ=22mΔφ+Vφ

Ou encore

Eφ=Hφ

Avec

m la masse de la particule

la constante de Planck réduite

H l’opérateur hamiltonien

E=ω qui est une valeur propre de l’hamiltonien et qui sera l’énergie de l’état étudié

On a également varphi vecteur propre de l’hamiltonien

Remarque : On parle d’état stationnaire car, dans notre cas, le carré de la norme de la fonction d’onde est indépendant du temps :

|Ψ(M,t)|2=|φ(M)eiωt|2=|φ(M)|2