Soient I,J des intervalles de R et E un K-espace vectoriel de dimension finie avec K=R ou C.

Méthode 1 : Etudier la dérivation de fonctions vectorielles

  • Dérivabilité de fonctions vectorielles

Définition :

Soit f:IE.
f est dérivable en aI si le taux d’accroissement 1h(f(a+h)f(a)) converge quand h0 (avec h0).
Cette limite est le vecteur dérivé de f en a noté f(a).

Théorème :

Soit f:IE.
Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

  • f:IE est dérivable en aI
  • Il existe lE tel que f(t)=f(a)+(ta)l+(ta)ϵ(t)

Avec ϵ(t)ta0E.
C’est le développement limité à l’ordre 1 de f en a. l=f(a).

Définition :

Soit f:IE.
f est dérivable en a si elle l’est en tout point de I.

Théorème :

Les fonctions dérivables de I vers E sont continues.

Théorème :

Soit f:IE de fonctions coordonnées f1,,fn dans une base de E : e=(e1,,en). Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

  • f est dérivable.
  • f1,,fn sont dérivables.

Dans ce cas, pour tout tI, f(t)=nj=1fj(t)ej.

  • Opérations sur les fonctions dérivables

Théorème :

Soient f,g:IE et αK.
Si f et g sont dérivables alors αf et f+g sont dérivables :
(αf)=αf et (f+g)=f+g.

Théorème :

Soit φ:JI et f:IE.
Si f et φ sont dérivables alors fφ est dérivable et : (fφ)=φfφ.

Théorème :

Soient f:IE et LL(E,F) (application linéaire).
Si f est dérivable alors L(f):tL(f(t)) est dérivable : (L(f))=L(f).

Définition :

Soit f:IE.
On note f(0)=f la dérivée d’ordre 0 de f.
Pour nN, si f(n) existe et est dérivable, on pose f(n+1)=(f(n)) la dérivée d’ordre n+1 de f.
Si f(n) existe, on dit que f est n fois dérivable.

Théorème :

Soient f,g:IE et αK.
Si f et g sont n fois dérivables alors αf et f+g sont dérivables et (αf)(n)=αf(n) et (f+g)(n)=f(n)+g(n).

Théorème :

Soient f:IE et LL(E,F) (application linéaire).
Si f est n fois dérivable alors L(f) est dérivable : (L(f))(n)=L(f(n)).

Définition :

Soit f:IE.
f est de classe Cn si f est n fois dérivable et si f(n) est continue.
f est de classe C si f est de classe Cn pour tout nN.

Théorème : Inégalité des accroissements finis

Soit f:IE de classe C1.
S’il existe MR+ tel que pour tout tI, f(t)M alors pour tous a,bI, f(b)f(a)M|ba|.

Méthode 2 : Etudier l’intégration de fonctions vectorielles

Définition :

Soient f:IE et e=(e1,,en) une base de E.
f est continue par morceaux si ses fonctions coordonnées dans la base e sont continues.

Théorème :

L’ensemble C0pm(I,E) des fonctions continues par morceaux de I dans E est un sous-espace vectoriel de l’espace F(I,E).

Définition :

Soient f:IE et e=(e1,,en) une base de E.
Supposons que f est continue par morceaux de fonctions coordonnées f1,fn dans la base e.
Pour tout a,bI, l’intégrale de f de a à b est le vecteur :
baf(t)dt=[a ; b]f(t)dt=nj=1bafj(t)dtej

Remarque :

La valeur de l’intégrale est indépendante du choix de e.

Théorème :

Soient f,g:IE continues par morceaux.
Soient α,βK et a,bI.
baαf+βg=αbaf+βbag.

 

Relation de Chasles:

Soit f:IE continue par morceaux.
Pour tous a,b,cI, baf=caf+bcf.

Théorème :

Soit f:[a,b]E continue par morceaux et une norme sur E.
[a ; b]f[a ; b]f.

Théorème : Sommes de Riemann

Si f:[a ; b]E est continue par morceaux alors :
bann1k=0f(a+kban)n+baf(t)dt.

Définition :

Soit f:IE.
Une primitive de f est une fonction F:IE dérivable qui vérifie F=f.

Théorème :

Soit : f:IE.
Si f admet des primitives, elles diffèrent entre elles d’une constante vectorielle.

Théorème :

Soient f:IE et aI.
Si f est continue alors f possède une unique primitive F s’annulant en a : F(x)=xaf(t)dt. Par conséquent, ddx(xaf(t)dt)=f(x).

Théorème du changement de variables :

Soit φ:IJ de classe C1 et f:JE continue.
Pour tous a,bI, βαφ(t)f(φ(t))dt=φ(b)φ(a)f(s)ds.

Théorème : Formule de Taylor avec reste intégral

Soient f:IE et aI.
Si f est de classe Cn+1, pour tout xI,
f(x)=nk=0(xa)kk!f(k)(a)+xa(xt)nn!f(n+1)(t)dt.

Théorème : Inégalité de Taylor-Lagrange

Soient f:IE et aI.
Si f est de classe Cn+1 et si f(n+1) est bornée, alors pour tout xI
f(x)nk=0(xa)kk!f(k)(a)|xa|n+1(n+1)!sup.

Théorème : Formule de Taylor-Young

Soient et .
Si est de classe ,
avec .
Cette formule est le développement limité de à l’ordre en .