Quelles sont les équations de Maxwell dans le vide ?
div→E=0
→rot→E=−∂→B∂t
div→B=0
→rot→B=ϵ0μ0∂→E∂t
On remarque que les champs →E et →B sont couplés. Ainsi, une variation de →E entraine une variation de →B qui entraine une variation de →E et ainsi de suite.
Comment démontrer l’équation de D’Alembert ?
L’équation de D’Alembert est une équation générale décrivant la propagation non dispersive d’une onde. Dans le cas de la propagation du champ électrique.
Elle s’écrit :
∇2→E−1c2∂2→E∂t2=0
Avec c=1√ϵ0μ0
Remarque : On a exactement la même équation pour le champ magnétique.
Pour démontrer l’équation de propagation du champ électrique, on peut :
- Commencer par prendre le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday.
- On utilise alors l’équation de Maxwell-Ampère pour remplacer →rot→B.
- On remplace →rot(→rot→E) grâce à la formule « rot(rot)=grad(div)-lap ».
- On conclut
Comment résoudre l’équation de D’Alembert ?
Les solutions de l’équation de D’Alembert peuvent se décomposer sous la forme d’une somme d’ondes planes progressives harmoniques (OPPH). Ainsi, on aura :
→E=→E0cos(ωt−→k.→r+ϕ)
Avec :
ω la pulsation
→k le vecteur d’onde (orienté dans la direction de propagation)
→r le vecteur position
ϕ la phase à l’origine
Quelle est la structure des OemPPH ?
La relation de structure des ondes électromagnétiques planes progressives dans le vide est :
→B=→k∧→Eω
On en déduit que ces 3 vecteurs sont orthogonaux. Plus précisément, →k, →E et →B forment un trièdre orthogonal direct.
On dit que les OemPP dans le vide sont transverses (ou transversales).
La relation de structure nous indique également que →E et →B sont en phase.
Enfin, grâce à la relation de structure, on peut directement déduire →B de →E ou inversement.