Quelles sont les équations de Maxwell dans le vide ?

divE=0

rotE=Bt

divB=0

rotB=ϵ0μ0Et

 

On remarque que les champs E et B sont couplés. Ainsi, une variation de E entraine une variation de B qui entraine une variation de E et ainsi de suite.

 

Comment démontrer l’équation de D’Alembert ?

L’équation de D’Alembert est une équation générale décrivant la propagation non dispersive d’une onde. Dans le cas de la propagation du champ électrique.

Elle s’écrit :

2E1c22Et2=0

Avec c=1ϵ0μ0

 

Remarque : On a exactement la même équation pour le champ magnétique.

 

Pour démontrer l’équation de propagation du champ électrique, on peut :

  1. Commencer par prendre le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday.
  2. On utilise alors l’équation de Maxwell-Ampère pour remplacer rotB.
  3. On remplace rot(rotE) grâce à la formule « rot(rot)=grad(div)-lap ».
  4. On conclut

Comment résoudre l’équation de D’Alembert ?

Les solutions de l’équation de D’Alembert peuvent se décomposer sous la forme d’une somme d’ondes planes progressives harmoniques (OPPH). Ainsi, on aura :

E=E0cos(ωtk.r+ϕ)

Avec :

ω la pulsation
k le vecteur d’onde (orienté dans la direction de propagation)
r le vecteur position
ϕ la phase à l’origine

Quelle est la structure des OemPPH ?

La relation de structure des ondes électromagnétiques planes progressives dans le vide est :

B=kEω

On en déduit que ces 3 vecteurs sont orthogonaux. Plus précisément, k, E et B forment un trièdre orthogonal direct.

On dit que les OemPP dans le vide sont transverses (ou transversales).

La relation de structure nous indique également que E et B sont en phase.

Enfin, grâce à la relation de structure, on peut directement déduire B de E ou inversement.