Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Méthode 1 : Calcul de la trace d’une matrice carrée

Définition :

Soit la matrice $\rm A=(a_{i,j}) \in M_n(\mathbb K)$.

La trace vaut : $\rm tr(A)=a_{1,1}+…+a_{n,n}$.

• Produit de matrices :

Pour toute matrice $\rm A\in M_{n,p}(\mathbb K)$, pour toute matrice $\rm B\in M_{p,n}(\mathbb K)$ : $\rm tr(AB)=tr(BA)$.

• Matrices semblables :

Deux matrices semblables ont la même trace.

Remarque :

$\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est semblable à $\rm B\in M_n(\mathbb K)$ s’il existe $\rm P\in GL_n(\mathbb K)$ (groupe général linéaire = ensemble des matrices carrées réversibles d’ordre $\rm n$) telle que $\rm B = P^{-1}AP$.

Méthode 2 : Calcul du déterminant d’une matrice carrée $\bf{A =(a_{i,j}})$

• Déterminant d’ordre $2$ : $\rm \left|\begin{array}{ll}\rm a & \rm b\\ \rm c & \rm d\end{array}\right|= ad-bc$
• Déterminant d’ordre $3$ : règle de Sarrus.
• Déterminant par développement suivant une ligne ou une colonne, par exemple suivant la ligne $\rm i$ : $\displaystyle\rm \det(A)=\sum_{j=1}^n a_{i,j}(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$

Où $\rm A_{i,j}$ est la matrice obtenue à partir de $\rm A$ en enlevant la $\rm i^{ème}$ ligne et la $\rm j^{ème}$ colonne.

• Matrice triangulaire supérieure :
  Le déterminant est égal au produit des coefficients de la diagonale.

• Transposée de matrices : $\rm \det(^tA)=\det(A)$

• Produit de matrices : $\rm \det(AB)$ $\rm =\det(A)\det(B) \text{ et}\det(\lambda A)$ $\rm =\lambda^n \det(A)$

• Matrices semblables :
  Deux matrices semblables ont même déterminant.

Méthode 3 : Inverser une matrice

• Matrice inversible :

$\rm A$ est inversible si et seulement si $\rm \det(A)\neq 0$. Dans ce cas $\displaystyle \rm \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$

• Si $\rm A$ est inversible, $\displaystyle\rm A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}^t(Com(A))$.

Méthode 4: Calculer une exponentielle de matrices

Définition : L’exponentielle de matrices est l’application de $M_n(\mathbb K)$ dans $M_n(\mathbb K)$ définie, pour tout $A\in M_n(\mathbb K)$, par : $exp(A)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k !}A^k$.

Propriétés :

• Soient $A_1,A_2\in M_n(\mathbb K)$ deux matrices qui commutent (c’est-à-dire $A_1A_2=A_2A_1$).

Alors $exp(A_1+A_2)=exp(A_1)exp(A_2)$

• Pour tout $A\in M_n(\mathbb K)$, $A$ est inversible et $(exp A)^{-1}=exp(-A)$.

Propriété: L’exponentielle d’une matrice diagonale est une matrice diagonale qui s’obtient en calculant l’exponentielle de chacun des termes de la matrice diagonale de départ.

Soient $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel non réduit à $\rm \{0_E\}$ et $\rm u$ un endomorphisme de $\rm E$.

Méthode 1 : Identifier les éléments propres d’un endomorphisme

• $x$ est vecteur propre de $u$ si : $x\neq 0_\rm E $ et il existe $\lambda \in \mathbb K$ tel que $u(x)=\lambda x$.
• $\lambda$ est valeur propre de $u$.

Le spectre de $u$ noté $\mathrm{Sp}(u)$ est l’ensemble des valeurs propres de $u$.
$\mathrm E_{\lambda}(u)=\rm \ker(u-\lambda Id_E)$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$.

Théorème: Un endomorphisme $u\in \rm L(E)$ possède au plus $\rm \dim (E)$ valeurs propres.

Théorème : Si $\lambda_1,…\lambda_p$ sont des valeurs propres distinctes de $u$, alors les sous-espaces propres associés $E_{\lambda_1},…,E_{\lambda_p}$ sont en somme directe.

Méthode 2 : Identifier les éléments propres d’une matrice carrée

• Les valeurs propres de $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ sont les racines du polynôme caractéristique de $\rm A$ : 

$\rm \chi_A$ avec $\rm \chi_A(X)=\det(XI_n-A)$

• Le polynôme caractéristique de $A$ peut être calculé avec la formule suivante :

$\rm \chi_A(X)$ $\rm =X^n-tr(A)X^{n-1}+\ldots+(-1)^n \det(A)$

Propriété :

Les valeurs propres complexes d’une matrice réelle sont deux à deux conjuguées.

Propriété : Deux matrices semblables ont le même spectre.

Méthode 3 : Savoir si un endomorphisme $u$ $\bf{\in L(E)}$ est diagonalisable

• Avec la définition :

Un endomorphisme $u$ est diagonalisable s’il existe une base de $\rm E$ dans laquelle sa matrice est diagonale. Cette base est appelée base de diagonalisation de $u$ ou base propre de $u$.

• En utilisant le théorème suivant :

Soit $u\in \rm L(E)$. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• $u$ est diagonalisable.
• Il existe une base de $\rm E$ formée de vecteurs propres de $u$.
• $\rm E$ est la somme directe des sous-espaces propres de $u$ c’est-à-dire $\mathrm E=\displaystyle\oplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}\mathrm E_{\lambda}(u)$
• $\displaystyle\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}\dim E_{\lambda}(u)=\dim \mathrm E$

Méthode 4 : Savoir si une matrice $\bf{A \in M_n(\mathbb K)}$ est diagonalisable

• Avec la définition :

Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire s’il existe $\rm P\in GL_n(\mathbb K)$ et $\rm D\in D_n(\mathbb K)$ telles que $\rm P^{-1}AP=D$.

• En utilisant le lien avec l’endomorphisme :

Soit $\rm A$ la matrice d’un endomorphisme $u$ dans une base de $\rm E$.
Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• $\rm A$ est diagonalisable
• $u$ est diagonalisable

Théorème :

Si $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ admet $\rm n$ valeurs propres distinctes alors $\rm A$ est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.

Méthode 5 : Trigonalisation

• Avec les définitions :

• Un endomorphisme $u$ de $\rm E$ est trigonalisable s’il existe une base de $\rm E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire.
  Cette base est appelée base de trigonalisation de l’endomorphisme $u$.
• Une matrice $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire.
• Soit $\rm A$ matrice d’un endomorphisme $u$ dans une base de $\rm E$. Il y a équivalence entre « $\rm A$ est trigonalisable » et « $u$ est trigonalisable ».

Théorème :

Un endomorphisme $u$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé dans $\rm \mathbb K[X]$.

Les énoncés présentés ici se transposent aux matrices carrées.

Méthode 1 : Etudier un polynôme annulateur

• Soit $u$ $\bf{\in L(E)}$ un endomorphisme.

$\rm P\in \mathbb K[X]$ est un polynôme annulateur de $u$ si $\mathrm P(u)=0$ ($0$ étant l’application nulle).

• Si $\bf P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est racine de $\bf P$.

Lemme de décomposition des noyaux :

Si $P_1,…,P_r\in \mathbb K[X]$ sont des polynômes premiers entre eux deux à deux tels que $P=P_1⋯P_r$.

Alors $ker(P(u))=\displaystyle\oplus_{i=1}^r ker(P_i(u))$.

Théorème de Cayley-Hamilton :

Le polynôme caractéristique de $u$ $\rm \chi_u$ est annulateur de $u$

Méthode 2 : Etudier un polynôme minimal

• Pour tout endomorphisme $u$ $\bf{\in L(E)}$, il existe un unique polynôme $\pi_u$ tel que :

• $\pi_u$ est annulateur de $u$
• $\pi_u$ est unitaire

• Pour tout $\bf{P \in\mathbb K[X]}$, $\bf{P}$ ($u$) $= 0 \Rightarrow$ $\pi_u | \bf{P}$.

Ce polynôme $\pi_u$ est le polynôme minimal de l’endomorphisme $u$.

Théorème :

Les valeurs propres de l’endomorphisme $u$ sont les racines de son polynôme minimal.

Méthode 3 : Savoir si l’endomorphisme est diagonalisable ou trigonalisable

Théorème :

Il y a équivalence entre :

• $u$ est diagonalisable
• $u$ annule un polynôme scindé à racines simples
• Le polynôme minimal de $u$ est scindé à racines simples $(\pi_u=\displaystyle \prod_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}(X-\lambda))$

Théorème :

Il y a équivalence entre :

• $u$ est trigonalisable
• $u$ annule un polynôme scindé dans $\rm \mathbb K[X]$
• Le polynôme minimal de $u$ est scindé dans $\rm \mathbb K[X]$

Méthode 4: Etudier un endomorphisme nilpotent

Soit $u\in \mathcal L (E)$ avec $E$ de dimension finie.

Définition: On dit que $u$ est nilpotent s'il existe un entier $p$ tel que $u^p=0$.

Le plus petit entier $p$ qui correspond s'appelle l'indice de nilpotence de $u$.

Théorème: L’indice de nilpotence est majoré par la dimension de $E$.

Théorème: Un endomorphisme est nilpotent si et seulement s’il est trigonalisable avec pour seule valeur propre 0.