Structures algébriques usuelles

Méthode 1 : Montrer que ($\bf{G, \star}$), avec $\bf G$ un ensemble et $\star$ une loi de composition interne, est un groupe.

• Utiliser la définition d’un groupe :

$\star$ est associative : pour tous $\rm a, b, c \in G$, $\rm (a \star b) \star c= a \star (b \star c)$

$\star$ possède un élément neutre unique : il existe $\rm e\in G$, tel que pour tout $\rm a\in G$, $\rm a \star e = a = e \star a$

Tout élément de $\rm G$ est symétrisable par $\star$ : pour tout $\rm a \in G$, il existe $\rm b \in G$ tel que $\rm a \star b= e =b \star a$. $\rm b$ est unique et appelé symétrique de $\rm a$ noté $\rm a^{-1}$.

• Identifier $\bf G$ comme un produit de groupes :

Soient $\rm (G_1,\star_1),\ldots,(G_n,\star_n)$ des groupes avec pour éléments neutres $\rm e_1,\ldots,e_n$, alors $\rm G=G_1 \times \ldots \times G_n$ muni de la loi produit $\star$ (définie par $(x_1,\ldots,x_\mathrm n) \star (y_1,\ldots,y_\mathrm n)=(x_1\star y_1,\ldots,x_\mathrm n\star y_\mathrm n)$) est un groupe de neutre $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$.

• Identifier $\bf G$ comme un groupe connu :

Les groupes $(\mathbb C,+)$, $(\mathbb R, +)$, $(\mathbb Z, +)$ sont des groupes abéliens (commutatifs) de neutre $0$.
Les groupes $(\mathbb C^*,\times)$, $(\mathbb R^*,\times)$ sont des groupes abéliens de neutre $1$.
Le groupe $\rm(\mathbb Z/n\mathbb Z,+)$ est un groupe abélien de neutre $\bar{0}$.

• Identifier $\bf G$ comme le sous-groupe d’un groupe :

Soit $\rm (H,\star)$ un groupe.
Si $\rm G$ est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$, alors $\rm (G,\star)$ est un groupe de même neutre.

Remarque :

$\rm G$, partie de $\rm H$, est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$ si :

• $\rm e\in G$
• Pour tous $x,y \in \rm G$, $x\star y^{-1}\in \rm G$

Remarque :

Les sous-groupes de $(\mathbb Z,+)$ sont les $\rm n\mathbb Z$ avec $\rm n\in \mathbb N$.

Propriété : L’intersection de sous-groupes est un groupe.

Méthode 2 : Montrer que $\varphi$ est un morphisme avec $\bf{\varphi : G \to G’}$ et $\bf{(G, \star)}$ et $\bf{(G’, T)}$ deux groupes.

• Utiliser la définition d’un morphisme :

Pour tous $x,y \in \rm G$, $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\mathrm T\varphi(y)$.

Remarques :

Un morphisme d’un groupe vers lui-même est appelé endomorphisme.
Un isomorphisme de groupes est un morphisme bijectif.

• Identifier une composition de morphismes :

Soient $\varphi : \rm G\to G’$ et $\psi : \rm G’\to G’’$ deux morphismes de groupes.
Alors $\psi \circ \varphi : \rm G \to G''$ est un morphisme de groupes.

• Identifier des morphismes connus :

• La fonction $\ln$ est un morphisme de $(\mathbb R^{+*},\times)$ vers $(\mathbb R,+)$
• Le déterminant est un morphisme de $\rm(GL_n(\mathbb K),\times)$ vers $(\mathbb K^*,\times)$

Méthode 3 : Étudier le noyau et l’image d’un morphisme.

Soit $\varphi : \rm (G,\star)\to (G’,T)$ un morphisme de groupes.

$\rm \ker \varphi=\varphi^{-1}(\{e’\})\\ Im \varphi =\varphi(G)$

Remarque :

• $\ker \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G,\star)$ et $\rm Im \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G’,T)$.
• $\varphi$ est injectif si et seulement si $\rm \ker \varphi=\{e\}$
• $\varphi$ est surjectif si et seulement si $\rm Im \varphi=G’$

Méthode 1 : Montrer que $\bf{(A,+,\times)}$, avec $\rm A$ un ensemble et $\bf{+,\times}$ deux lois de composition internes, est un anneau.

• Utiliser la définition d’un anneau :

$\rm (A,+)$ est un groupe abélien de neutre $\rm 0_A$
$\times$ est associative et possède un neutre $\rm 1_A$
$\times$ est distributive sur $+$ : pour tous $\rm a,b,c \in A$, $\rm a(b+c)=ab+ac$ et $\rm (b+c)a=ba+ca$.

• Identifier $\bf A$ comme un produit d’anneaux :

Soient $\rm (A_1,+,\times),\ldots,(A_n,+,\times)$ des anneaux avec pour éléments neutres $\rm 0_{A_1},\ldots,0_{A_n}$ et $\rm 1_{A_1},\ldots,1_{A_n}$, alors $\rm A=A_1 \times \ldots \times A_n$ (muni des lois définies par $(x_1,\ldots,x_\mathrm n) + (y_1,\ldots,y_\mathrm n)$ $=(x_1+ y_1,\ldots,x_\mathrm n + y_\mathrm n)$ et $(x_1,\ldots,x_\mathrm n) \times (y_1,\ldots,y_\mathrm n)$ $=(x_1\times y_1,\ldots,x_\mathrm n \times y_\mathrm n)$) est un anneau de neutres $\rm 0_A=(0_{A_1},\ldots,0_{A_n})$ et $\rm 1_A=(1_{A_1},\ldots,1_{A_n})$.

• Identifier $\bf A$ comme un anneau connu :

$(\mathbb C,+,\times)$, $(\mathbb R, +,\times)$, $(\mathbb Z, +,\times)$ sont des anneaux commutatifs ($\times$ est commutative) de neutres $0$ et $1$.
$\rm (\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\times)$ est un anneau commutatif de neutres $\bar{0}$ et $\bar{1}$.

• Identifier $\bf A$ comme le sous-anneau d’un anneau :

Soit $\rm B$ un sous-anneau de $\rm (A,+,\times)$ muni des lois $+$ et $\times$ définies par restriction des lois sur $\rm A$.
Alors $\rm B$ est un anneau de mêmes neutres que $\rm A$.

Remarque :

$\rm B$, partie de $\rm A$, est un sous-anneau de $\rm A$ si :

• $\rm 1_A \in B$
• Pour tous $x,y \in \rm B$, $xy \in \rm B$
• Pour tous $x,y \in \rm B$, $xy \in \rm B$

Méthode 2 : Faire des calculs dans un anneau.

• Si $\bf a$ et $\bf b$ sont deux éléments commutant $\bf{(ab = ba)}$ d’un anneau $\bf A$ :

Pour tout $\rm n\in \mathbb N$, $\rm (ab)^n=a^nb^n$ et $\rm (a+b)^n=\displaystyle\rm \sum_{k=0}^{n}\Big(\begin{array}{l}\rm n\\ \rm k \end{array}\Big)\rm a^kb^{n-k}$.

• Soit $\bf a$ appartenant à un anneau $\bf{(A, +, \times)}$.

$\rm a$ est inversible s’il existe $\rm b\in A$ tel que $\rm ab=ba=1$.
$\rm b$ est l’unique inverse de $\rm a$ noté $\rm a^{-1}$.

Remarque :

L’ensemble $\rm U(A)$ des éléments inversibles de l’anneau $\rm (A,+,\times)$ est un groupe multiplicatif.

• Dans un anneau $\bf{(A, +, \times)}$ intègre :

Pour tous $\rm a,b\in A$, $\rm ab=0_A \Leftrightarrow a=0_A \quad \text{ou }\quad b=0_A$.

Remarque :

Un anneau $\rm (A,+,\times)$ est intègre si $\rm A$ est non réduit à $\rm \{0_A\}$ et si $\rm A$ ne possède pas de diviseurs de zéros (on dit que $\rm a,b\in A$ sont des diviseurs de zéros si $\rm ab=0_A$ avec $\rm a,b\neq 0_A$).

Remarque :

$(\mathbb Z,+,\times)$ est un anneau intègre.

Méthode 3 : Etudier la divisibilité dans un anneau intègre 

Dans ce qui suit, l’anneau commutatif $A$ est supposé intègre.

Définitions : Soit $a,b\in A$.
On dit que $b$ divise $a$ ($b|a$) ou $a$ est un multiple de $b$ s’il existe $c\in A$ tel que $a=bc$.
On dit que $a$ et $b$ sont associés si $a|b$ et $b|a$.

Définitions : Un élément non nul et non inversible est dit irréductible si tous ses diviseurs sont inversibles ou lui sont associés.
L’élément non nul et non inversible $a\in A$ est dit premier si $a=bc$ (avec $b,c\in A$) entraîne $a|b$ ou $a|c$.

Propriété : Tout élément premier de $A$ est irréductible.
Remarque : en général, la réciproque est fausse.

Définition : Les éléments $a,b\in A$ sont premiers entre eux si tous leurs diviseurs communs sont inversibles.
Propriété : S’il existe $u,v\in A$ tel que $au+bv=1$, alors $a$ et $b\in A$ sont premiers entre eux.

Méthode 4 : Etudier un morphisme d’anneaux $\bf \varphi$.

Soit $\varphi : \rm A\to A’$ et $\rm (A,+,\times), (A’,+,\times)$ deux anneaux.

• Utiliser la définition d’un morphisme :

$\rm\varphi(1_A)=1_{A’}$
Pour tous $x,y \in \rm A$, $\varphi(x + y)=\varphi(x)+\varphi(y)$
Pour tous $x,y \in \rm A$, $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$.

Remarque :

Un isomorphisme d’anneaux est un morphisme bijectif.

• Identifier une composition de morphismes :

Une composition de morphismes d’anneaux est également un morphisme d’anneaux.

• Noyau de $\bf{\varphi : \ker \varphi =\varphi^{-1}(\{O_{A’}\})}$

$\varphi$ est injective si et seulement si $\rm \ker \varphi=\{0_A\}$

Attention, $\rm \ker \varphi$ n’est généralement pas un sous-anneau de $\rm A$.

• Image de $\bf{\varphi : Im \varphi =\varphi(A)}$

$\varphi$ est surjectif si et seulement si $\rm Im \varphi= A’$
$\rm Im \varphi$ est un sous-anneau de $\rm A’$.

Méthode 1 : Identifier des idéaux d’anneaux commutatifs

• Utiliser la définition d’idéal :

Soit $\rm I$ une partie de $\rm A$.
$\rm I$ est un idéal de l’anneau commutatif $\rm (A,+,\times)$ si :

• $\rm0_A \in I$
• Pour tous $x,y \in \rm I$, $x+y \in \rm I$
• Pour tout $\rm a\in A$ et pour tout $x\in \rm I$, $\mathrm ax\in \rm I$.

• Identifier des idéaux connus:

$\rm n\mathbb Z$ est un idéal de $(\mathbb Z,+,\times)$ avec $\rm n\in\mathbb Z$.
Le noyau d’un morphisme d’anneaux $\varphi : \rm A\to A’$ est un idéal de $\rm(A,+,\times)$.

• Utiliser des opérations d’idéaux :

L’intersection de deux idéaux est un idéal.
La somme de deux idéaux $\rm I$ et $\rm J$ est un idéal avec $\mathrm {I+J}=\{x+y/x\in \rm I, y\in \rm J\}$.
L’ensemble $x\mathrm {A}=\{x\rm u/u\in A\}$ avec $x\in \rm A$ est un idéal engendré par $x$.

Méthode 2 : Identifier une $\bf \mathbb K$-algèbre

• Utiliser la définition d’une algèbre :

Soit $\rm(A,+,\times,\bullet)$ un quadruplet avec $\rm A$ ensemble, $+,\times$ lois de composition interne sur $\rm A$ et $\bullet$ produit extérieur opérant de $\mathbb K$ sur $\rm A$.

$\rm(A,+,\times,\bullet)$ est une $\mathbb K$-algèbre si :

• $\rm(A,+,\bullet)$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel
• $\rm(A,+,\times)$ est un anneau
• Pour tout $\lambda \in \mathbb K$, pour tous $x,y\in \rm A$, $(\lambda \bullet x)y=\lambda \bullet (xy)=x(\lambda \bullet y)$

Remarque :

$(A,+,\bullet)$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel si :

• $\rm(A,+)$ est un groupe abélien
• Pour tous $x,y\in \rm A$, pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb K$, $\lambda \bullet (x+y)=\lambda \bullet x+\lambda \bullet y$,
  $(\lambda + \mu)\bullet x=\lambda \bullet x + \mu \bullet x$,
  $\lambda \bullet(\mu x)=(\lambda \mu)\bullet x$ et $1\bullet x=x$.

Les éléments de $\mathbb K$ sont les scalaires et ceux de $\rm A$ les vecteurs.

• Identifier des algèbres connues :

$\mathbb K$, $\mathbb K \rm[X]$, sont des $\mathbb K$- algèbres commutatives.

• Identifier une sous-algèbre d’une algèbre connue :

Une sous-algèbre est une $\mathbb K$-algèbre pour les lois restreintes avec les mêmes neutres.

Remarque :

$\rm B$, partie de $\rm A$, $\mathbb K$-algèbre est une sous-algèbre si :

• $\rm1_A\in B$
• Pour tous $\lambda,\mu \in \mathbb K$, pour tous $x,y\in \rm B$, $\lambda x+\mu y \in \rm B$
• Pour tous $x,y \in \rm B$, $xy \in \rm B$.