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Soit E un K-espace vectoriel avec K=R ou C.
Méthode 1 : Etudier une norme
- Utiliser la définition :
Soit l’application : ‖⋅‖:E→R+.
‖⋅‖ est une norme si :
- Pour tout x∈E, ‖x‖=0⇒x=0E
- Pour tout λ∈K, pour tout x∈E, ‖λx‖=|λ|‖x‖
- Pour tous x,y∈E, ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.
(E,‖⋅‖) est alors appelé espace vectoriel normé.
Théorème : Inégalité triangulaire :
Pour tous x,y∈E, ||x+y||≤||x||+||y|| avec égalité si et seulement s’il existe λ∈R+ tel que y=λx ou x=λy (x et y sont dits positivement liés).
Remarque: x∈E est unitaire si ||x||=1.
- Définir une norme à partir d’un produit scalaire
Soit E un espace préhilbertien, muni du produit scalaire (⋅|⋅).
En posant : pour tout x∈E, ||x||=√(x|x), on définit une norme sur E.
- Reconnaître des normes usuelles :
- Sur R, la valeur absolue est une norme
- Sur C, le module est une norme
- Sur Kn, ‖⋅‖1, ‖⋅‖2 et ‖⋅‖∞ sont des normes avec :
‖x‖1=|x1|+…+|xn|‖x‖2=√|x1|2+…+|xn|2‖x‖∞=max{|x1|,…,|xn|}
Avec x=(x1,…,xn)
- Sur B(X,K) (ensemble des fonctions définies sur X, non vide, à valeurs dans K, bornées), ‖⋅‖∞ est une norme avec ‖f‖∞=supx∈X|f(x)| (norme de la convergence uniforme)
- Sur C([a ;b],K) (espace des fonctions continues de [a,b] vers K), ‖⋅‖∞, mais aussi ‖⋅‖1 et ‖⋅‖2 sont des normes avec :
‖f‖1=∫ba|f(t)|dt
‖f‖2=(∫ba|f(t)|2dt)1/2
(normes de la convergence en moyenne et en moyenne quadratique).
- Identifier une norme sur un produit d’espaces normés :
Soient (E1,‖⋅‖1),…,(Er,‖⋅‖r) des espaces normés.
On note E=E1×…×Er.
Soit x=(x1,…,xr)∈E.
‖x‖=max1≤i≤r‖xi‖
‖⋅‖ est une norme sur E.
Méthode 2: Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé
Soit E un espace vectoriel muni de la norme ||⋅||.
Définitions:
Une suite d’éléments (un) de E converge vers l∈E si
||un−l||→n→+∞0.
Une suite qui n'est convergente vers aucun l∈E est appelée divergente.
Théorème : Si (un) est une suite convergente vers l, l est appellé limite de la suite (un) et est unique.
Proposition : Toute suite convergente est bornée.
Proposition : Si (un) et (vn) sont deux suites de E convergeant respectivement vers l1 et vers l2, alors pour tous \alpha, \beta \in \mathbb, (αun+βvn) converge vers αl1+βl2.
Propriété: La convergence d’une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base.
Définition: l est une valeur d'adhérence de la suite (un) s'il existe une suite extraite de (un) qui converge vers l.
Théorème: Une suite ayant au moins deux valeurs d’adhérence diverge.
Théorème: Une suite bornée d’un espace normé de dimension finie converge si et seulement si elle a une unique valeur d’adhérence.
Méthode 3 : Comparer des normes
- Une norme ‖⋅‖1 sur E est dominée par une norme ‖⋅‖2 s’il existe α>0 tel que pour tout x∈E, ‖x‖1≤α‖x‖2
- Deux normes ‖⋅‖1 et ‖⋅‖2 sur E sont équivalentes si chacune est dominée par l’autre : il existe α, β>0 tels que pour tout x∈E, α‖x‖2≤‖x‖1≤β‖x‖2
Théorème :
Sur un K-espace vectoriel de dimension finie, les normes sont deux à deux équivalentes.
Théorème :
Deux normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes qui ont même limite pour les deux normes.
Remarque :
On peut montrer que deux normes ne sont pas équivalentes en trouvant une suite convergente pour une norme mais divergente pour l’autre ou une suite qui converge pour ces deux normes mais vers des limites différentes.
