États stationnaires

Qu’appelle-t-on états stationnaires ?

En mécanique quantique, un état stationnaire est un état qui n’évolue pas dans le temps.

Comment trouver les états stationnaires d’une particule soumise à un potentiel non uniforme ?

On considère une particule élémentaire non relativiste sans spin soumise à un potentiel non uniforme $V(x)$ (indépendant du temps). On recherche les fonctions d’onde $\Psi$ solution de l’équation de Schrödinger :

$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2} +V(x) \Psi$

On cherche une solution sous la forme :

$\Psi(x,t) = \varphi(x)e^{-i \frac{E}{\hbar} t}$

On remplace cette forme de solution dans l’équation de Schrödinger et on obtient :

$E \varphi (x) = \frac{- \hbar ^2}{2m}  \frac{ d ^2 \varphi}{dx^2} +V(x) \varphi(x)$

Ou encore

$E \varphi = H \varphi$

Avec $H$ l’opérateur hamiltonien.

Remarque : Dans le cas d’un hamiltonien indépendant du temps, les fonctions propres de l’opérateur hamiltonien sont toujours des états stationnaires.

Quels sont les états stationnaires dans le cas d’une marche de potentiel ?

On considère une particule soumise à une marche de potentiel $V(x)$ tel que :

V(x) =

1. Lorsque $x<0$, $\varphi$ vérifie l’équation :

$E \varphi (x) = \frac{- \hbar ^2}{2m}  \frac{ d ^2 \varphi}{dx^2}$

Équation différentielle qui a pour solution :

$\varphi = Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$

Avec $k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar ^2}}$,

$A$ et $B$ des constantes a priori complexes

Ainsi, la fonction d’onde correspond à la superposition de deux ondes de de Broglie se propageant en sens opposé (rebond sur le mur de potentiel) :

$\Psi(x,t)=Ae^{i(kx-Et/ \hbar)}+Be^{i(-kx-Et/ \hbar)}$

Le coefficient de réflexion sur le mur de potentiel est :

$R=\frac{\lvert B \rvert ^2}{\lvert A \rvert ^2}$

2. Lorsque $x>0$ et SI $E>V_0$, on trouve de la même manière :

$\varphi = Ce^{ik_0x}+De^{-ik_0x}$

Avec $k_0=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar ^2}}$,

$C$ une constante et $D=0$ car pas de propagation vers la gauche dans cette zone de l’espace.

Le coefficient de transmission est :

$T= \frac{k_0}{k} \frac{\lvert C \rvert ^2}{\lvert A \rvert ^2}$

Remarque : On a $R+T=1$ par conservation du nombre de particules.

3. Lorsque $x>0$ et si $E < V_0$, on trouve alors: $\varphi = Ce^{k_0x}+De^{ik_0x}$

Avec $k_0=\sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar ^2}}$,

$D$ une constante et $C=0$ car sinon la fonction d’onde ne serait pas normalisable. On a alors une onde évanescente.

Dans ce cas le coefficient de transmission $T$ est nul. Toutes les particules sont réfléchies ce qui est en accord avec la mécanique classique.

Barrière de potentiel

On pourrait également étudier le cas d’une barrière de potentiel de largeur $L$ défini par :

$V(x)=\infty$ si $x<0$
$0$ si $0< x < L$
$\infty$ si $x > L$

L’étude de ce cas permet d’introduire l’effet tunnel, qui consiste pour une particule à pouvoir franchir une barrière de potentiel même si son énergie $E$, est inférieure à la hauteur de la barrière $V_0$.

États stationnaires d’une particule dans un puits de potentiel infini

On pourrait aussi étudier les états stationnaires d’une particule dans un puits de potentiel infini de largeur $L$ défini par :

$V(x)=\infty$ si $x<0$
$0$ si $0< x < L$
$\infty$ si $x > L$

Dans ce cas, l’étude des états stationnaires mène à la condition :

$\lambda = \frac{nL}{2}$

Avec $\lambda$ la longueur d’onde de de Broglie de la particule

Et $n \in \mathcal N$

Remarque 1 : On obtient la même condition que celle donnant les modes propres d’une corde vibrante de longueur $L$ fixée à ses extrémités. Par suite, la quantification de l’énergie de la particule est analogue à la quantification des pulsations propres dans le cas de la corde.

Remarque 2 : L’énergie de la particule dans son état fondamental (état $n=1$) n’est pas nulle ce n’est donc pas un état de repos. On peut généraliser ce résultat à toute particule confinée (c’est-à-dire se trouvant dans un puits de potentiel quelconque) : Une telle particule a une énergie cinétique minimale non nulle, appelée énergie de confinement. Ce résultat peut être trouvé en résolvant l’équation de Schrödinger ou bien à partir de l’inégalité d’Heisenberg spatiale.