Méthode 1 : Etudier le passage à la limite sous l'intégrale
Théorème de convergence dominée :
Soit $(f_{\rm n})$ suite de fonctions de $\rm I$ dans $\mathbb K$ telle que :
- Les $(f_{\rm n})$ sont continues par morceaux sur $\rm I$.
- La suite $(f_{\rm n})$ converge simplement sur $\rm I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux.
- Il existe une fonction $\varphi$ positive, intégrable sur $\mathbb I$ telle que $|f_{\rm n}|\leq \varphi$ pour tout $\rm n\in\mathbb N$ (hypothèse de domination).
Alors les fonctions $f_{\rm n}$ et $f$ sont intégrables sur $\rm I$ et $\displaystyle \int_{\mathrm I} f_{\rm n}$ converge vers $\displaystyle \int_{\mathrm I} f$.
Théorème d'intégration terme à terme :
Soit $\displaystyle \sum f_{\rm n}$ série de fonctions de $\rm I$ dans $\mathbb K$ telle que :
- Les $(f_{\rm n})$ sont continues par morceaux et intégrables sur $\rm I$.
- $\displaystyle \sum f_{\rm n}$ converge simplement sur $\rm I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux.
- $\displaystyle \sum \int_{\mathrm I}|f_{\rm n}\rm (t)|dt$ converge.
Alors $f$ est intégrable sur $\rm I$ et $\displaystyle \int_{\mathrm I} f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle = \sum_{\mathrm n=0}^{+\infty} \int_{\mathrm I} f_{\rm n}\rm (t)dt$.
Méthode 2 : Etudier la continuité d'une intégrale à paramètres
Théorème :
Soient $\rm X$ intervalle de $\mathbb R$, $\rm I$ un intervalle de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $\rm X \times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. Si :
- $f$ est continue par rapport à la première variable.
- $f$ est continue par morceaux par rapport à la seconde variable.
- Il existe une fonction $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x \in \rm X$, $|f(x,\cdot)|\leq \varphi$ (hypothèse de domination).
Alors $g : x\mapsto \displaystyle \int_{\mathrm I} f(x,\rm t)dt$ est définie et continue sur $\rm X$.
Remarque :
L'hypothèse de domination peut être remplacée par une hypothèse de domination locale : pour tout $\rm [a ~; b]\subset X$, il existe $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x\in\rm [a ~;b]$, $|f(x,\cdot)|\leq \varphi$.
Méthode 3 : Etudier la dérivation d'une intégrale à paramètres
Théorème :
Soient $\rm X$ intervalle de $\mathbb R$, $\rm I$ un intervalle de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $\rm X\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. Si :
- Pour tout $x\in \rm X$, $\mathrm t\mapsto f(x,\mathrm t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $\rm I$.
- $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ est définie sur $\rm X\times I$, continue par rapport à la première variable.
- $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ est continue par morceaux par rapport à la seconde variable.
- Il existe une fonction $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x \in \rm X$, $\displaystyle \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot)\right|\leq \varphi$ (hypothèse de domination).
Alors $g :x\mapsto \displaystyle \int_{\mathrm I} f(x,\rm t)dt$ est de classe $\rm C^1$ sur $\rm X$ et pour tout $x \in \rm X$, $g'(x)=\displaystyle\int_I\frac{\partial f}{\partial x}(x,\rm t)dt$.
Remarque :
L'hypothèse de domination peut être remplacée par une hypothèse de domination locale : pour tout $\rm [a ~;b]\subset X$, il existe $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x\in\rm [a~ ;b]$, $\displaystyle \bigg|\frac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot)\bigg|\leq \varphi$.