Polynômes

1) Savoir factoriser un polynôme

Théorème à connaître : 

• Dans ${\Bbb C}$ : tout polynôme se factorise complètement c'est-à-dire s'écrit en produit de facteurs de degré $1$. 
• Dans ${\Bbb R}$ : tout polynôme se factorise en produit de facteurs de degré $1$ et éventuellement en produit de facteurs de degré 2 à discriminant $< 0$. 

Exemple : $X^3-1 = (X-1)(X^2+X+1)$ est la factorisation dans ${\Bbb R}[X]$. Le trinôme $X^2+X+1$ n'est pas plus factorisable dans ${\Bbb R}[X]$.

• Dans ${\Bbb C}[X]$, on peut aller plus loin $X^2+X+1 = (X-j)(X-\overline{j})$ avec $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$ (racine cubique de l'unité). 

Donc $X^3-1 = (X-1)(X-j)(X-\overline{j})$ (produit de facteurs de degré $1$).

2) Méthode

Pour factoriser un polynôme, il faut chercher ses racines. Il n'y a pas de méthode générale et systématique pour cela sauf équations particulières (cf. équation du second degré ou $x^n-1=0$ dans ${\Bbb C}$).

a) La méthode consiste à chercher une racine évidente $a$ puis à factoriser le polynôme $P$ par $X-a$ à l'aide de la division euclidienne. 

Exemple : $P(X) = X^3-1$ a une racine évidente qui est $1$. Donc un théorème du cours nous dit qu'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(X) = (X-1)Q(X)$. 

On détermine le polynôme $Q$ par division euclidienne :

Ensuite, on cherche une racine évidente $b$ de $Q$ donc $Q(X)=(X-b)S(X)$ et donc $P(X) = (X-a)(X-b)S(X)$. Puis on cherche une racine évidente de $S$ etc...

b) Penser aux identités remarquables. 

Exemple : 

$X^4-1 = (X^2)^2-1 = (X^2-1)(X^2+1) = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ dans ${\Bbb R}[X]$.

Dans ${\Bbb C}[X]$, $X^2+1$ est une identité remarquable car $X^2+1 = X^2 - i^2 = (X-i)(X+i)$ donc $X^4-1 = (X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$ .

Autre exemple : $X^4+1$ se factorise dans ${\Bbb R}[X]$ d'après le théorème cité plus haut ! Il se factorise forcément en un produit de deux facteurs de degré $2$ car il n'a pas de racine dans ${\Bbb R}$. 

On va écrire le polynôme comme le début d'une identité remarquable. 

$X^4+1 = (X^2)^2 + 1 = (X^2+1)^2 - 2X^2 = (X^2+1)^2 - (\sqrt{2}X)^2 $$= (X^2+1 - \sqrt{2}X)(X^2+1 + \sqrt{2}X)$. On vérifie facilement (calcul du discriminant) que ces deux trinômes ne sont pas plus factorisables dans ${\Bbb R}[X]$.

c) Pour factoriser un polynôme de ${\Bbb R}[X]$, on peut le factoriser dans ${\Bbb C}[X]$ puis rassembler les facteurs conjugués. En effet, un théorème affirme que si $a \in {\Bbb C}$ est une racine de $P \in {\Bbb R}[X]$ alors $\overline{a}$ est aussi une racine de $P$. On va donc rassembler les facteurs $(X-a)(X-\overline{a})$ en utilisant la formule : $(X-a)(X-\overline{a}) = X^2 - 2Re(a) X + |a|^2$.

Exemple : Factorisons le polynôme $X^4+1$ d'abord dans ${\Bbb C}[X]$. Il faut donc chercher les racines de ce polynôme c'est-à-dire résoudre l'équation $z^4=-1$. Cela revient à chercher les racines $4$-ème de $-1$. 

On a $-1 = e^{i\pi}$. Une racine $4$-ème possible est donc $z_0 = e^{i\pi/4}$. On obtient les autres en multipliant $z_0$ par les racines $4$-ème de l'unité : $1$, $i = e^{i\pi/2}$, $-1=e^{i\pi}$ et $-i=e^{-i\frac{\pi}{2}}$. 

On trouve $z_1 = z_0 \times e^{i\pi/2} = e^{3i\pi/4}$, $z_2 = z_0 \times e^{i\pi} = e^{5i\pi/4}= e^{-3i\pi/4}=\overline{z_1}$ et $z_3 = z_0 \times e^{-i\pi/2} = e^{-i\pi/4}=\overline{z_0}$.

La factorisation dans ${\Bbb C}[X]$ est $X^4+1 = (X-z_0)(X-z_1)(X-z_2)(X-z_3) = (X-z_0)(X-\overline{z_0})(X-z_1)(X-\overline{z_1})$.

Or $(X-z_0)(X-\overline{z_0}) = X^2-2Re(z_0)X + |z_0|^2 = X^2-\sqrt{2}X+1$ et $(X-z_1)(X-\overline{z_1}) = X^2-2Re(z_1)X + |z_1|^2 = X^2+\sqrt{2}X+1$.

Donc la décomposition de $X^4+1$ dans ${\Bbb R}[X]$ est $X^4+1 = (X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)$.

3) Racines multiples 

Définition : Soit $P \in {\Bbb K}[X]$. Soit $a \in {\Bbb K}$. Soit $k \in {\Bbb N}^*$.

• On dit que $a$ est une racine d'ordre au moins $k$ de $P$ si $(X-a)^{k}$ divise $P$ c'est-à-dire $P(X)=(X-a)^kQ(X)$ avec $Q (X)$ un polynôme.
• On dit que $a$ est une racine d'ordre exactement $k$ de $P$ si $(X-a)^{k}$ divise $P$ et si $(X-a)^{k+1}$ ne divise pas $P$.
  Cela revient à dire que $P$ s'écrit $P(X) = (X-a)^{k}Q(X)$ et $Q(a) \neq 0$. 
• On dit aussi que $a$ est une racine de multiplicité $k$.

Exemple :

Soit $P(X)=3(X^2+1)^2(X-2)$. $P$ est un polynôme réel ou complexe.

• Dans ${\Bbb K}={\Bbb R}$: $2$ est une racine d'ordre $1$ ou simple de $P$.
• Dans ${\Bbb K}={\Bbb C}$: $i$ et $-i$ sont des racines d'ordre $2$ ou doubles. $2$ est une racine simple.

Théorème : caractérisation des racines multiples

Soit $a \in {\Bbb K}$. Soit $k \in {\Bbb N}^*$.

• $a$ est une racine d'ordre au moins $k$ si et seulement si $P(a)=P'(a)=\ldots=P^{(k-1)}(a)=0$.
• $a$ est une racine d'ordre ou de multiplicité exactement $k$ de $P$ si et seulement si $P(a)=P'(a)=\ldots=P^{(k-1)}(a)=0$ et $P^{(k)}(a) \neq 0$.

4) Relations entre les coefficients d'un polynôme et ses coefficients.

Définition : on dit qu'un polynôme de ${\Bbb K}[X]$ est scindé sur ${\Bbb K}$ si toutes ses racines sont dans ${\Bbb K}$ cela revient à dire qu'il est entièrement factorisable dans ${\Bbb K}[X]$. 

D'après un théorème tout polynôme de ${\Bbb C}[X]$ est scindé dans ${\Bbb C}$. Mais par exemple $X^2+1$ n'est pas scindé dans ${\Bbb R}$.

Soit $P=a_0 + a_1X + \ldots + a_nX^n$ un polynôme de ${\Bbb K}[X]$ de degré $n$ donc $a_n \neq 0$.

On suppose que $P$ est scindé sur ${\Bbb K}$ donc le polynôme $P$ peut s'écrire $P(X)=a_n(X-x_1)(X-x_2) \ldots (X-x_n)$ où $x_1,\ldots,x_n$ sont les racines de $P$ (pas forcément distinctes). 

On définit $\sigma_1 = x_1 + \ldots + x_n = $la somme des racines de $P$ et $\sigma_n =x_1 \ldots x_n$ le produit ses racines de $P$. 

Formule à connaître : $\sigma_1 = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$ et $\sigma_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$ autrement dit on a $\displaystyle{\sigma_1 = -\frac{\mbox{coeffficient devant }X^{\deg(P)-1}}{\rm{cd}(P)}}$ avec ${\rm{cd}(P)}$ le coefficient dominant de $P$.

Et $\displaystyle{\sigma_n = (-1)^{\deg(P)}\frac{\mbox{coeffficient constant }}{{\rm{cd}(P)}}}$.

Cas particulier $n=3$. Soit $P(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3$ un polynôme de degré $3$ donc $a_3 \neq 0$ que l'on suppose scindé donc il s'écrit aussi $P(X) = a_3(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$.
(Ne pas oublier le facteur $a_3$, c'est le coefficient dominant de $P$).

En développant $P(X) = a_3(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$, on retrouve les relations entre les coefficients et les racines d'un polynômes. A savoir :

$\displaystyle{x_1+x_2+x_3 = - \frac{a_2}{a_3}}$, $\displaystyle{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = \frac{a_1}{a_3}}$ et $\displaystyle{x_1x_2x_3 = -\frac{a_0}{a_3}}$.
(formules à savoir retrouver).