Méthode 1 : Calcul de la trace d’une matrice carrée
Définition :
Soit la matrice $\rm A=(a_{i,j}) \in M_n(\mathbb K)$.
La trace vaut : $\rm tr(A)=a_{1,1}+…+a_{n,n}$.
- Produit de matrices :
Pour toute matrice $\rm A\in M_{n,p}(\mathbb K)$, pour toute matrice $\rm B\in M_{p,n}(\mathbb K)$ : $\rm tr(AB)=tr(BA)$.
- Matrices semblables :
Deux matrices semblables ont la même trace.
Remarque :
$\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est semblable à $\rm B\in M_n(\mathbb K)$ s’il existe $\rm P\in GL_n(\mathbb K)$ (groupe général linéaire = ensemble des matrices carrées réversibles d’ordre $\rm n$) telle que $\rm B = P^{-1}AP$.
Méthode 2 : Calcul du déterminant d’une matrice carrée $\bf{A =(a_{i,j}})$
- Déterminant d’ordre $2$ : $\rm \left|\begin{array}{ll}\rm a & \rm b\\ \rm c & \rm d\end{array}\right|= ad-bc$
- Déterminant d’ordre $3$ : règle de Sarrus.
- Déterminant par développement suivant une ligne ou une colonne, par exemple suivant la ligne $\rm i$ : $\displaystyle\rm \det(A)=\sum_{j=1}^n a_{i,j}(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$
Où $\rm A_{i,j}$ est la matrice obtenue à partir de $\rm A$ en enlevant la $\rm i^{ème}$ ligne et la $\rm j^{ème}$ colonne.
-
Matrice triangulaire supérieure :
Le déterminant est égal au produit des coefficients de la diagonale. -
Transposée de matrices : $\rm \det(^tA)=\det(A)$
-
Produit de matrices : $\rm \det(AB)$ $\rm =\det(A)\det(B) \text{ et}\det(\lambda A)$ $\rm =\lambda^n \det(A)$
-
Matrices semblables :
Deux matrices semblables ont même déterminant.
Méthode 3 : Inverser une matrice
- Matrice inversible :
$\rm A$ est inversible si et seulement si $\rm \det(A)\neq 0$. Dans ce cas $\displaystyle \rm \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$
- Si $\rm A$ est inversible, $\displaystyle\rm A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}^t(Com(A))$.
Méthode 4: Calculer une exponentielle de matrices
Définition : L’exponentielle de matrices est l’application de $M_n(\mathbb K)$ dans $M_n(\mathbb K)$ définie, pour tout $A\in M_n(\mathbb K)$, par : $exp(A)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k !}A^k$.
Propriétés :
- Soient $A_1,A_2\in M_n(\mathbb K)$ deux matrices qui commutent (c’est-à-dire $A_1A_2=A_2A_1$).
Alors $exp(A_1+A_2)=exp(A_1)exp(A_2)$
- Pour tout $A\in M_n(\mathbb K)$, $A$ est inversible et $(exp A)^{-1}=exp(-A)$.
Propriété: L’exponentielle d’une matrice diagonale est une matrice diagonale qui s’obtient en calculant l’exponentielle de chacun des termes de la matrice diagonale de départ.