Méthode 1 : Montrer qu’un ensemble est dénombrable
- Utiliser la définition :
Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec N.
Théorème : Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de N.
Un tel ensemble est dit au plus dénombrable.
- Utiliser des opérations
- Identifier des ensembles dénombrables connus
Théorème :
- Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
- Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
Les parties infinies de N sont dénombrables.
Les ensembles Np (p∈N∗), Z, Q sont dénombrables.
Attention, l’ensemble R n’est pas dénombrable.
Méthode 2 : Étudier la convergence d’une série numérique
- Utiliser la définition :
Définition :
Une série ∑un converge si la suite de ses sommes partielles (Sn)n∈N avec Sn=n∑k=0uk converge.
On note +∞∑k=0uk =limn→+∞n∑k=0uk.
Théorème :
Si la série ∑un converge, alors la suite (un)n tend vers 0.
Remarque :
Si (un)n ne tend pas vers 0, on dit que la série ∑un diverge grossièrement.
- Utiliser des opérations :
Théorème :
Soient ∑un et ∑vn deux séries convergentes et λ∈K.
Alors ∑λun et ∑un+vn sont des séries convergentes.
Théorème :
Soit ∑zn une série complexe.
Si ∑zn converge, alors ∑¯zn converge.
- Cas des séries à termes positifs :
Théorème :
Soient ∑un et ∑vn deux séries à termes positifs telles que pour tout n∈N, un≤vn.
- Si ∑vn converge, alors ∑un converge.
- Si ∑un diverge, alors ∑vn diverge.
Théorème :
Soient ∑un et ∑vn deux séries à termes positifs.
Si un∼vn, alors les séries ∑un et ∑vn ont même nature.
Définition :
Soit (un) une suite réelle ou complexe.
∑un converge absolument si ∑|un| converge.
Théorème :
Si ∑un converge absolument, alors la série converge.
- Utiliser des séries de références :
Théorème (séries de Riemann) :
∑n≥11nα converge si et seulement si α>1.
Théorème (séries géométriques) :
Soit q∈C.
- Si |q|≥1, alors ∑qn diverge grossièrement.
- Si |q| <1, alors ∑qn converge absolument et +∞∑n=0qn=11−q
- Règle de d’Alembert :
Soit ∑un une série de termes non nuls.
On suppose que |un+1un|→I avec I∈R+∪{+∞}.
Si I>1, ∑un diverge grossièrement.
Si I=1, on ne peut rien conclure.
Si I<1, ∑un converge absolument.
- Identifier une série alternée :
Définition :
Une série ∑un est alternée si pour tout n∈N, un=(−1)n |un| ou un=(−1)n+1 |un|.
Théorème (critère spécial des séries alternées) :
Soit ∑un une série alternée.
Si (|un|)n≥0 est une série décroissante tendant vers 0, alors ∑un converge.
De plus, le reste Rn=+∞∑k=n+1uk est du signe de un+1 et |Rn|≤|un+1|.
- Utiliser le lien suite et série :
Théorème :
La suite (un) et la série ∑(un+1−un) sont de même nature.
Méthode 3 : Comparer série et intégrale
Théorème :
Soit f:[0 ;+∞[→R continue par morceaux, décroissante et positive.
La série de terme général wn=∫nn−1 f(t)dt−f(n) est convergente.
Corollaire :
Sous les mêmes hypothèses, ∑fn et ∫+∞0f(t)dt sont de même nature.
Méthode 4 : Étudier la convergence d’une série d’éléments d’un espace normé
Remarque :
Les séries numériques sont un cas particulier des séries d’éléments d’un espace normé.
Soit (un) suite d’éléments de l’espace normé (E,‖.
Définition :
La série converge si la suite de ses sommes partielles avec converge.
On note .
Définition :
La série d’éléments de converge absolument si converge.
Théorème :
Si est de dimension finie, si converge absolument alors converge.