Méthode 1 : Montrer qu’un ensemble est dénombrable
- Utiliser la définition :
Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec N.
Théorème : Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de N.
Un tel ensemble est dit au plus dénombrable.
- Utiliser des opérations
- Identifier des ensembles dénombrables connus
Théorème :
- Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
- Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
Les parties infinies de N sont dénombrables.
Les ensembles Np (p∈N∗), Z, Q sont dénombrables.
Attention, l’ensemble R n’est pas dénombrable.
Méthode 2 : Étudier la convergence d’une série numérique
- Utiliser la définition :
Définition :
Une série ∑un converge si la suite de ses sommes partielles (Sn)n∈N avec Sn=n∑k=0uk converge.
On note +∞∑k=0uk =lim.
Théorème :
Si la série converge, alors la suite tend vers .
Remarque :
Si ne tend pas vers , on dit que la série diverge grossièrement.
- Utiliser des opérations :
Théorème :
Soient et deux séries convergentes et .
Alors et sont des séries convergentes.
Théorème :
Soit une série complexe.
Si converge, alors converge.
- Cas des séries à termes positifs :
Théorème :
Soient et deux séries à termes positifs telles que pour tout , .
- Si converge, alors converge.
- Si diverge, alors diverge.
Théorème :
Soient et deux séries à termes positifs.
Si , alors les séries et ont même nature.
Définition :
Soit une suite réelle ou complexe.
converge absolument si converge.
Théorème :
Si converge absolument, alors la série converge.
- Utiliser des séries de références :
Théorème (séries de Riemann) :
converge si et seulement si .
Théorème (séries géométriques) :
Soit .
- Si , alors diverge grossièrement.
- Si , alors converge absolument et
- Règle de d’Alembert :
Soit une série de termes non nuls.
On suppose que avec .
Si , diverge grossièrement.
Si , on ne peut rien conclure.
Si , converge absolument.
- Identifier une série alternée :
Définition :
Une série est alternée si pour tout , ou .
Théorème (critère spécial des séries alternées) :
Soit une série alternée.
Si est une série décroissante tendant vers , alors converge.
De plus, le reste est du signe de et .
- Utiliser le lien suite et série :
Théorème :
La suite et la série sont de même nature.
Méthode 3 : Comparer série et intégrale
Théorème :
Soit continue par morceaux, décroissante et positive.
La série de terme général est convergente.
Corollaire :
Sous les mêmes hypothèses, et sont de même nature.
Méthode 4 : Étudier la convergence d’une série d’éléments d’un espace normé
Remarque :
Les séries numériques sont un cas particulier des séries d’éléments d’un espace normé.
Soit suite d’éléments de l’espace normé .
Définition :
La série converge si la suite de ses sommes partielles avec converge.
On note .
Définition :
La série d’éléments de converge absolument si converge.
Théorème :
Si est de dimension finie, si converge absolument alors converge.