Méthode 1 : Montrer qu’un ensemble est dénombrable

  • Utiliser la définition :

Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec N.

Théorème : Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de N.

Un tel ensemble est dit au plus dénombrable.

  • Utiliser des opérations
  • Identifier des ensembles dénombrables connus

Théorème :

  • Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
  • Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.

Les parties infinies de N sont dénombrables.

 

Les ensembles Np (pN), Z, Q sont dénombrables.

 

Attention, l’ensemble R n’est pas dénombrable.

Méthode 2 : Étudier la convergence d’une série numérique

  • Utiliser la définition :

Définition :

Une série un converge si la suite de ses sommes partielles (Sn)nN avec Sn=nk=0uk converge. 

On note +k=0uk =lim.

Théorème :

Si la série converge, alors la suite tend vers .

Remarque :

Si ne tend pas vers , on dit que la série diverge grossièrement.

  • Utiliser des opérations :

Théorème :

Soient et deux séries convergentes et .
Alors et sont des séries convergentes.

Théorème :

Soit une série complexe.
Si converge, alors converge.

  • Cas des séries à termes positifs :

Théorème :

Soient et deux séries à termes positifs telles que pour tout , .

    1. Si converge, alors converge.
    2. Si diverge, alors diverge.

Théorème :

Soient et deux séries à termes positifs.
Si , alors les séries et ont même nature.

Définition :

Soit une suite réelle ou complexe.
converge absolument si converge.

Théorème :

Si converge absolument, alors la série converge.

  • Utiliser des séries de références :

Théorème (séries de Riemann) :

converge si et seulement si .

Théorème (séries géométriques) :

Soit .

    1. Si , alors diverge grossièrement.
    2. Si , alors converge absolument et
  • Règle de d’Alembert :

Soit une série de termes non nuls.
On suppose que avec .
Si , diverge grossièrement.
Si , on ne peut rien conclure.
Si , converge absolument.

  • Identifier une série alternée :

Définition :

Une série est alternée si pour tout , ou .

Théorème (critère spécial des séries alternées) :

Soit une série alternée.
Si est une série décroissante tendant vers , alors converge.
De plus, le reste est du signe de et .

  • Utiliser le lien suite et série :

Théorème :

La suite et la série sont de même nature.

Méthode 3 : Comparer série et intégrale

Théorème :

Soit continue par morceaux, décroissante et positive.
La série de terme général est convergente.

Corollaire :

Sous les mêmes hypothèses, et sont de même nature.

Méthode 4 : Étudier la convergence d’une série d’éléments d’un espace normé

Remarque :

Les séries numériques sont un cas particulier des séries d’éléments d’un espace normé.
Soit suite d’éléments de l’espace normé .

Définition :

La série converge si la suite de ses sommes partielles avec converge.
On note .

Définition :

La série d’éléments de converge absolument si converge.

Théorème :

Si est de dimension finie, si converge absolument alors converge.