Méthode 1 : Montrer qu’un ensemble est dénombrable

  • Utiliser la définition :

Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec N.

Théorème : Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de N.

Un tel ensemble est dit au plus dénombrable.

  • Utiliser des opérations
  • Identifier des ensembles dénombrables connus

Théorème :

  • Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
  • Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.

Les parties infinies de N sont dénombrables.

 

Les ensembles Np (pN), Z, Q sont dénombrables.

 

Attention, l’ensemble R n’est pas dénombrable.

Méthode 2 : Étudier la convergence d’une série numérique

  • Utiliser la définition :

Définition :

Une série un converge si la suite de ses sommes partielles (Sn)nN avec Sn=nk=0uk converge. 

On note +k=0uk =limn+nk=0uk.

Théorème :

Si la série un converge, alors la suite (un)n tend vers 0.

Remarque :

Si (un)n ne tend pas vers 0, on dit que la série un diverge grossièrement.

  • Utiliser des opérations :

Théorème :

Soient un et vn deux séries convergentes et λK.
Alors λun et un+vn sont des séries convergentes.

Théorème :

Soit zn une série complexe.
Si zn converge, alors ¯zn converge.

  • Cas des séries à termes positifs :

Théorème :

Soient un et vn deux séries à termes positifs telles que pour tout nN, unvn.

    1. Si vn converge, alors un converge.
    2. Si un diverge, alors vn diverge.

Théorème :

Soient un et vn deux séries à termes positifs.
Si unvn, alors les séries un et vn ont même nature.

Définition :

Soit (un) une suite réelle ou complexe.
un converge absolument si |un| converge.

Théorème :

Si un converge absolument, alors la série converge.

  • Utiliser des séries de références :

Théorème (séries de Riemann) :

n11nα converge si et seulement si α>1.

Théorème (séries géométriques) :

Soit qC.

    1. Si |q|1, alors qn diverge grossièrement.
    2. Si |q| <1, alors qn converge absolument et +n=0qn=11q
  • Règle de d’Alembert :

Soit un une série de termes non nuls.
On suppose que |un+1un|I avec IR+{+}.
Si I>1, un diverge grossièrement.
Si I=1, on ne peut rien conclure.
Si I<1, un converge absolument.

  • Identifier une série alternée :

Définition :

Une série un est alternée si pour tout nN, un=(1)n |un| ou un=(1)n+1 |un|.

Théorème (critère spécial des séries alternées) :

Soit un une série alternée.
Si (|un|)n0 est une série décroissante tendant vers 0, alors un converge.
De plus, le reste Rn=+k=n+1uk est du signe de un+1 et |Rn||un+1|.

  • Utiliser le lien suite et série :

Théorème :

La suite (un) et la série (un+1un) sont de même nature.

Méthode 3 : Comparer série et intégrale

Théorème :

Soit f:[0 ;+[R continue par morceaux, décroissante et positive.
La série de terme général wn=nn1 f(t)dtf(n) est convergente.

Corollaire :

Sous les mêmes hypothèses, fn et +0f(t)dt sont de même nature.

Méthode 4 : Étudier la convergence d’une série d’éléments d’un espace normé

Remarque :

Les séries numériques sont un cas particulier des séries d’éléments d’un espace normé.
Soit (un) suite d’éléments de l’espace normé (E,.

Définition :

La série converge si la suite de ses sommes partielles avec converge.
On note .

Définition :

La série d’éléments de converge absolument si converge.

Théorème :

Si est de dimension finie, si converge absolument alors converge.