On considère des fonctions à valeurs dans K=R ou C.
I et J représentent des intervalles de R.
Soit (un) suite de fonctions de I vers K.
Méthode 1 : Etudier la convergence de suites de fonctions
- Convergence simple :
Définition :
La suite de fonctions (un) converge simplement vers u:I→K si pour tout t∈I, un(t)→n→+∞u(t).
On dit que u est la limite simple de la suite (un) notée u=limn→+∞un.
Propriétés :
Si un converge simplement sur I vers u :
- Si chaque un est positive, alors u est positive.
- Si chaque un est croissante, alors u est croissante.
- Convergence uniforme :
Définition :
La suite de fonctions (un) converge uniformément vers u:I→K si pour tout ϵ>0, il existe N∈N tel que pour tout n∈N, n≥N, alors pour tout t∈I, |un(t)−u(t)|≤ϵ.
On dit que u est la limite uniforme de la suite (un).
Théorème :
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
Théorème :
Il y a équivalence entre
- un converge uniformément vers u.
- A partir d’un certain rang, les fonctions un−u sont bornées et ‖.
Méthode 2 : Etudier la continuité et les limites
Théorème :
Si converge uniformément vers sur et si chaque est continue en , alors est continue en . Par conséquent, la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.
Théorème de la double limite :
Si converge uniformément vers sur et si chaque tend en vers une limite finie alors converge et .
Théorème de Weierstrass :
Toute fonction continue sur un segment et à valeurs dans est limite uniforme sur de fonctions polynomiales à coefficients dans .
Méthode 3 : Etudier l’intégration et la dérivation
- Intégration de suites de fonctions sur un segment :
Théorème :
Soit suite de fonctions continues définies sur . Soit .
Si converge uniformément sur tout segment de vers une fonction , alors pour tous et , converge uniformément vers sur tout segment de .
- Dérivation de suites de fonctions :
Théorème :
Soit suite de fonctions de classe sur .
Si converge simplement sur vers et si converge uniformément sur tout segment de , alors converge uniformément vers sur tout segment de , est de classe sur et .
Théorème d’extension:
Soit suite de fonctions de classe sur .
Si pour tout , converge simplement sur vers une fonction et si converge uniformément vers sur tout segment de , alors est de classe sur et pour tout , .
Méthode 4 : Généralisation aux suites de fonctions vectorielles
Les suites sont définies ici sur un espace vectoriel de dimension finie de dimension finie, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie. On considère partie de .
- Convergences de suites de fonctions vectorielles :
Définitions :
converge simplement vers si pour tout , .
converge uniformément vers si pour tout , il existe tel que pour tout , , alors pour tout , .
Théorème :
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
- Continuité et limite :
Théorème :
Si , suite de fonctions continues, converge uniformément vers alors est continue.
Le théorème de la double limite reste valable.
- Intégration et dérivation :
Les résultats vus pour les suites numériques restent valables.