On considère des fonctions à valeurs dans $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
$\mathrm{I}$ et $\mathrm{J}$ représentent des intervalles de $\mathbb R$.
Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions de $\rm I$ vers $\mathbb K$.
Méthode 1 : Etudier la convergence de suites de fonctions
- Convergence simple :
Définition :
La suite de fonctions $(u_{\rm n})$ converge simplement vers $u : \rm I\to \mathbb K$ si pour tout $\mathrm{t\in I}$, $\displaystyle u_{\mathrm {n(t)}}\underset{\mathrm n\to +\infty}{\to}u\rm (t)$.
On dit que $u$ est la limite simple de la suite $(u_{\rm n})$ notée $u=\displaystyle\lim_{\mathrm n\to +\infty} u_{\mathrm n}$.
Propriétés :
Si $u_{\rm n}$ converge simplement sur $\mathrm{I}$ vers $u$ :
- Si chaque $u_{\rm n}$ est positive, alors $u$ est positive.
- Si chaque $u_{\rm n}$ est croissante, alors $u$ est croissante.
- Convergence uniforme :
Définition :
La suite de fonctions $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u : \rm I\to \mathbb K$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\rm N \in\mathbb N$ tel que pour tout $\mathrm{n \in \mathbb N}$, $\mathrm{n \geq N}$, alors pour tout $\mathrm{t \in I}$, $|u_{\mathrm{n(t)}}-u\rm (t)|\leq \epsilon$.
On dit que $\mathrm{u}$ est la limite uniforme de la suite $(u_{\rm n})$.
Théorème :
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
Théorème :
Il y a équivalence entre
- $u_{\rm n}$ converge uniformément vers $u$.
- A partir d’un certain rang, les fonctions $u_{\mathrm n}-u$ sont bornées et $\|u_{\mathrm n}-u\|_{\infty}\rightarrow 0$.
Méthode 2 : Etudier la continuité et les limites
Théorème :
Si $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur $\mathrm{I}$ et si chaque $u_{\rm n}$ est continue en $\mathrm{a \in I}$, alors $u$ est continue en $\mathrm{a}$. Par conséquent, la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.
Théorème de la double limite :
Si $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur $\mathrm{I}$ et si chaque $u_{\rm n}$ tend en $\mathrm{a}$ vers une limite finie $\mathrm{l_n}$ alors $\mathrm{(l_n)}$ converge et $\mathrm{\displaystyle\lim_{t\to a}\lim_{n\to +\infty}}u_\mathrm n(\mathrm t)= \displaystyle \lim_{\mathrm n\to +\infty}\lim_{\rm t\to a}u_{\rm n}(t)$.
Théorème de Weierstrass :
Toute fonction continue sur un segment $S$ et à valeurs dans $\mathbb K$ est limite uniforme sur $S$ de fonctions polynomiales à coefficients dans $\mathbb K$.
Méthode 3 : Etudier l’intégration et la dérivation
- Intégration de suites de fonctions sur un segment :
Théorème :
Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions continues définies sur $\mathrm{I}$. Soit $\mathrm{a \in I}$.
Si $(u_{\rm n})$ converge uniformément sur tout segment de $\mathrm{I}$ vers une fonction $u$, alors pour tous $\mathrm{n\in\mathbb N}$ et $x\in \rm I$, $(u’_n)$ converge uniformément vers $\displaystyle \int_{\mathrm a}^x u\rm (t)dt$ sur tout segment de $I$.
- Dérivation de suites de fonctions :
Théorème :
Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions de classe $\mathrm{C^1}$ sur $\mathrm{I}$.
Si $(u_{\rm n})$ converge simplement sur $\mathrm{I}$ vers $u$ et si $(u_{\rm n’})$ converge uniformément sur tout segment de $\mathrm{I}$, alors $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur tout segment de $\mathrm{I}$, $u$ est de classe $\mathrm{C^1}$ sur $\mathrm{I}$ et $u’=\lim u’_n$.
Théorème d’extension:
Soit $(u_n)$ suite de fonctions de classe $C^k$ sur $I$.
Si pour tout $0\leq j\leq k-1$, $(u_n^{(j)})$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f_j$ et si $(u_n^{(k)})$ converge uniformément vers $f_k$ sur tout segment de $I$, alors $f_0$ est de classe $C^k$ sur $I$ et pour tout $ j\leq k-1$, $f_0^{(j)}=f_j$.
Méthode 4 : Généralisation aux suites de fonctions vectorielles
Les suites $(u_{\rm n})$ sont définies ici sur un espace vectoriel de dimension finie $\mathrm{E}$ de dimension finie, à valeurs dans un espace vectoriel normé $\mathrm{F}$ de dimension finie. On considère $\mathrm{X}$ partie de $\mathrm{E}$.
- Convergences de suites de fonctions vectorielles :
Définitions :
$(u_{\rm n})$ converge simplement vers $u : \rm X\to F$ si pour tout $x\in \rm X$, $u_{\mathrm n}(x) \to u(x)$.
$(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u : \rm X\to F$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\mathrm{N \in \mathbb N}$ tel que pour tout $\mathrm{n \in \mathbb N}$, $\mathrm{n\geq N}$, alors pour tout $x \in \rm X$, $\|u_{\mathrm n}(x)-u(x)\|_{\rm F\leq \epsilon}$.
Théorème :
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
- Continuité et limite :
Théorème :
Si $(u_{\rm n})$, suite de fonctions continues, converge uniformément vers $u$ alors $u$ est continue.
Le théorème de la double limite reste valable.
- Intégration et dérivation :
Les résultats vus pour les suites numériques restent valables.