Calcul littéral

Développement

Développer une expression, c’est la transformer d’un produit en une somme :
pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, $(a + b)\times (c + d)$ $= a \times c + a\times d + b\times c + b\times d$.
Lorsque l’on a ordonné les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l’on a réduit l’expression.

Factorisation

Factoriser une expression, c’est la transformer d’une somme en un produit de facteurs : on utilise la formule de développement dans l’autre sens.

Identités remarquables

Pour $a$ et $b$ deux nombres :

• ${(a + b)}^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• ${(a - b)}^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Elles peuvent servir à développer ou à factoriser une expression.

Propriétés des racines carrées

Pour $a$ et $b$ deux nombres positifs, $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ($b$ non nul).

Exemples :

• $\sqrt{12} =$ $\sqrt{4 \times 3} =$ $\sqrt{4} \times \sqrt{3} =$ $2\sqrt{3}$
• $\displaystyle \sqrt{\frac{7}{9}} =$ $\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}} =$ $\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}$.
• Pour écrire $\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et où $b$ est le plus petit possible, on décompose $75 = 3\times 25$ où 25 est un carré parfait.
• $\sqrt{75} = \sqrt{3 \times 25} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ car par exemple $\sqrt{16} +\sqrt{9} = 4 + 3 = 7$ et $\sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Equation produit

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont des expressions du premier degré, $\rm A \times B = 0$ est une équation-produit.
Pour la résoudre, on utilise la propriété suivante : « un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul ».
Donc $\rm A \times B = 0$ équivaut à $\rm A = 0$ ou $\rm B = 0$.

Inéquation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés suivantes :

• une inégalité ne change pas de sens quand on additionne ou on soustrait le même nombre aux deux membres.
• une inégalité ne change pas de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre positif (non nul pour la division) les deux membres.
• une inégalité change de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre négatif (non nul pour la division) les deux membres.

Propriétés des puissances

Soit $a$ un nombre non nul.
$a^0 = 1$ et $a^1 = a$.
Pour tous les nombres non nuls $a$ et $b$, et tous $m$ et $n$ nombres entiers relatifs, $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ; $a^n \times a^m = a^{m+n}$ ; $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $({a^m})^n = a^{m \times n}$ ; ${(a\times b)}^n = a^n \times b^n$ ; $\displaystyle{(\frac{a}{b})}^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Exemples : $3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$ ; $\displaystyle\frac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ ; ${(3\times 5)}^4 = 3^4 \times 5^4$.