Ensemble de nombres

• L’ensemble des nombres entiers naturels, noté $\mathbb{N}$, est composé des nombres $0, 1, 2, 3, 4, 5 \ldots$
• L’ensemble des nombres entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$, est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés : $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \ldots$
• L’ensemble des nombres décimaux, noté $\mathbb{D}$, est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme $\displaystyle \frac{a}{10^n}$ $(a\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N})$ :
  Il s’agit des nombres qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule. 
• L’ensemble des nombres rationnels, noté $\mathbb{Q}$, est l’ensemble des nombres fractionnaires, c'est-à-dire pouvant s’écrire sous la forme $\displaystyle \frac{p}{q}$ $(p\in \mathbb{Z}, q\in {\mathbb{Z}}^*)$. 
• L’ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$, est l’ensemble des nombres pouvant être représentés sur une droite graduée.

On a : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Remarque :
Il existe des nombres qui ne sont pas des nombres rationnels : $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{3}$, etc.
On les appelle « nombres irrationnels ».

Il existe 8 types d’intervalles qui sont associés à des inéquations. Pour $a$, $b$ $(a < b)$ et $x$ trois nombres réels :

On peut les représenter sur une droite graduée.

Définition

La valeur absolue d’un nombre réel $x$, notée $|x|$, est égale à $x$ si $x\geq 0$ et $-x$ si $x < 0$.

Exemples : $|6| = 6$ ; $|-4| = 4$ ; $|-9| = 9$.

Intervalle et valeur absolue

Soit $a$ et $r > 0$ deux nombres réels.
$|x - a| \leq r \Leftrightarrow x\in~[a - r~;~a + r]$.
$|x - a | < r \Leftrightarrow x\in~]a - r~;~a + r[$.

Exemple : $|x - 7| \leq 4 \Leftrightarrow x\in~[3~;~11]$.

Distance et valeur absolue

Sur un axe gradué, la distance entre les points d’abscisses $x$ et $0$ est $|x|$.
Sur un axe gradué, la distance entre les points d’abscisses $x$ et $y$ est $|y - x|$.

Exemples : 

• Sur un axe gradué, la distance entre les points d’abscisses $-4$ et $0$ est $|-4| = 4$. 
• Sur un axe gradué, la distance entre les points d’abscisses $-4$ et $6$ est $|-4 - 6| = |-10| = 10$ ou $|6 - (-4)| = |10| = 10$.