Résoudre des problèmes de géométrie

• Pythagore et réciproque : 

Dans le triangle $\rm ABC$ rectangle en $\rm A$, on a ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.

Réciproquement, si ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$ alors le triangle $\rm ABC$ est rectangle en $\rm A$.

• Thalès et réciproque :
  

Soit $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ trois points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ trois autres points alignés dans le même ordre.
Si les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles, alors on a $\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$ $\displaystyle = \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}$.

Réciproquement, si pour $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ des points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ d’autres points alignés dans le même ordre, on a l’égalité $\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$, alors les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles.

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles et de même longueur, et dont les diagonales se coupent en leur milieu. 

En plus de ces propriétés :

• Le rectangle a quatre angles droits et des diagonales de même longueur ;

• Le losange a ses quatre côtés de même longueur et des diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu ;

• Le carré a quatre angles droits, quatre côtés de même longueur et des diagonales de même longueur qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.