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Équations et fonctions polynômes du second degré

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Équation du second degré

Soit f(x)=ax2+bx+c avec a0.
Δ=b24ac
Si Δ<0 l'équation ax2+bx+c=0 n'a pas de solution réelle.
Si Δ=0 l'équation ax2+bx+c=0 a une solution double x0=b2a.
Si Δ>0 l'équation ax2+bx+c=0 a deux solutions distinctes x1=bΔ2a et x2=b+Δ2a.

Exemples :
2x2+3x7=0. Δ=956=47. Δ<0 et S=.
14x245x+1625=0. Δ=16254×14×1625=0.
x0=4524 =45×21 =85. S=85.
2x2+3x+5=0. Δ=9+40=49=72.
x1=374=104=52 et x2=3+74=1. S={1;52}.

Remarque :
Si Δ>0 l'équation ax2+bx+c=0 (a0) admet 2 racines distinctes.
En notant S=x1+x2 leur somme et P=x1×x2 leur produit, on a :
S=ba et P=ca.
Si on connaît une racine (évidente ou donnée), on peut donc en déduire la deuxième.

Inéquation du second degré

Résoudre une inéquation du second degré revient à rechercher le signe d'un trinôme.
Soit f(x)=ax2+bx+c avec a0, et Δ=b24ac.

Premier cas : Δ<0
Le signe de f(x) est celui de a pour tout réel x. f ne s'annule jamais.

Deuxième cas : Δ=0
Le signe de f(x) est celui de a pour tout réel x différent de b2a.
f s'annule en x=b2a.

Troisième cas : Δ>0
f(x) a deux racines réelles distinctes. x1=bΔ2a et x2=b+Δ2a. x1<x2.

Pour x];x1[]x2;+[, f(x) est du signe de a (à l'extérieur des racines).
Pour x]x1;x2[, f(x) est du signe de a (entre les racines).
Pour x=x1 et x=x2, f(x) s'annule.

Exemple : 2x2+3x+142x2+3x+50.
On pose f(x)=2x2+3x+5 et on étudie son signe.
Δ=9+40=49=72. x1=374=52 et x2=3+74=1.
a=2 donc pour tout x];1[]52;+[, f(x) est négatif.
Pour tout x]1;52[, f(x) est positif.
Pour x=52 ou x=1, f(x) s'annule.

D'après ce que l'on a fait précédemment f(x) est négatif ou nul sur ];1][52;+[.
Donc S=];1][52;+[.

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