Soit avec .
Si l'équation n'a pas de solution réelle.
Si l'équation a une solution double .
Si l'équation a deux solutions distinctes et .
Exemples :
. . et .
. .
. .
. .
et . .
Remarque :
Si l'équation () admet 2 racines distinctes.
En notant leur somme et leur produit, on a :
et .
Si on connaît une racine (évidente ou donnée), on peut donc en déduire la deuxième.
Équations et fonctions polynômes du second degré
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Inéquation du second degré
Résoudre une inéquation du second degré revient à rechercher le signe d'un trinôme.
Soit f(x)=ax2+bx+c avec a≠0, et Δ=b2−4ac.
Premier cas : Δ<0
Le signe de f(x) est celui de a pour tout réel x. f ne s'annule jamais.
Deuxième cas : Δ=0
Le signe de f(x) est celui de a pour tout réel x différent de −b2a.
f s'annule en x=−b2a.
Troisième cas : Δ>0
f(x) a deux racines réelles distinctes. x1=−b−√Δ2a et x2=−b+√Δ2a. x1<x2.
Pour x∈]−∞;x1[∪]x2;+∞[, f(x) est du signe de a (à l'extérieur des racines).
Pour x∈]x1;x2[, f(x) est du signe de −a (entre les racines).
Pour x=x1 et x=x2, f(x) s'annule.
Exemple : −2x2+3x+1≤−4⇔−2x2+3x+5≤0.
On pose f(x)=−2x2+3x+5 et on étudie son signe.
Δ=9+40=49=72. x1=−3−7−4=52 et x2=−3+7−4=−1.
a=−2 donc pour tout x∈]−∞;−1[∪]52;+∞[, f(x) est négatif.
Pour tout x∈]−1;52[, f(x) est positif.
Pour x=52 ou x=−1, f(x) s'annule.
D'après ce que l'on a fait précédemment f(x) est négatif ou nul sur ]−∞;−1]∪[52;+∞[.
Donc S=]−∞;−1]∪[52;+∞[.
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Sujet zéro — Spécialité Mathématiques